知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湛江一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=PD=2
3
，PB=AB=6，点P在底面的正投影在DC上．
（I）证明：BD⊥PA；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F分别是A₁C，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：D₁E∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅲ）若A₁A=AB，求DF与平面A₁ADD₁所成角的正弦值．

难度：中等

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3．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=
1
2
CD，AB⊥AD，AB∥CD，点g（x）=f（x）-x²+2x是PC的中点．
（I）求证：MB∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出
PN
PB
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．

（2015秋•萍乡期末）《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，则当点E在下列四个位置：PA中点、PB中点、PC中点、PD中点时分别形成的四面体E-BCD中，蟞臑有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

难度：较难

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5．（2015秋•松原校级期末）如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为E、D．
（1）求证：DE⊥SC；
（2）若SA=AB=BC=1，求直线AD与平面ABC所成角的余弦值．

难度：较难

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6．（2015秋•三明校级月考）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4
（1）求证AC⊥BC₁
（2）在AB上是否存在点D使得AC₁⊥CD
（3）在AB上是否存在点D使得AC₁∥平面CDB₁？

难度：较难

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7．

（2015秋•沈阳校级月考）如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，对于下列说法，正确的个数是（　　）
①BC⊥PAC
②AF⊥PBC
③EF⊥PB
④AE⊥PBC．

A．4

B．1

C．2

D．3

难度：较难

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8．（2015秋•唐山校级期末）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，点E为BC的中点．
（Ⅰ）证明：PE⊥ED；
（Ⅱ）在PD上找一点M，使得EM∥平面PAB，请确定M点的位置，并给出证明．

难度：中等

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9．（2015秋•莆田校级月考）如图，四边形BCC₁B₁是圆柱的轴截面．AA₁是圆柱的一条母线，已知AB=4，AC=2
2
，AA₁=3．
（1）求圆柱的表面积．
（2）求证：BA₁⊥AC．

难度：中等

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10．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2
2
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

难度：中等

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