知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•哈尔滨校级月考）如图，底面为菱形P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABD=60°，E为PC上一动点，PA=AB．
（1）求证BD⊥AE；
（2）当AE⊥平面PBD时，求
PE
CE
的值；
（3）在（2）的条件下，求AE与平面PBD所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
2
，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求这个四棱锥的体积．

难度：中等

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3．用向量证明：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．

难度：中等

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4．三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PB=PC=3．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）设AB=BC=2
3
，求直线AC与平面PBC所成角的大小．

难度：中等

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5．如图，在四面体PABC 中，面PAB，PBC，PAC两两垂直．
（1）求证：BC⊥AP
（2）若PA=a，PB=b，PC=c，求△ABC的面积．

难度：中等

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6．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥PB．

难度：中等

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7．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧面的三条对角线AB₁，BC₁，CA₁中，若A₁C⊥AB₁，求证：AB₁⊥BC₁．

难度：中等

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8．如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=DA=a，AB=2a，SA⊥平面ABCD，且SA=a
（1）求证：△SAD，△SAB，△SCB，△SDC都是直角三角形；
（2）在SD上取点M，SC交平面ABM于N，求证；四边形ABNM为直角梯形．

难度：中等

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9．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，点F在侧棱CC₁上，且CF=1，求证：EF⊥A₁C．

难度：中等

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10．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点．求证：MN⊥EA．

难度：中等

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