知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•佛山二模）如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）当BC⊥CD时，直线BC与平面A₁BD所成的角能否为45°？并说明理由．

难度：中等

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2．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，AM=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥P-MAC的体积．

难度：中等

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3．（2016•日照二模）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是等腰梯形，其中AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为△OBF的重心．
（I）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（II）求证：PM∥平面AFC．

难度：中等

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4．（2016•盐城三模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．

难度：中等

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5．在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′-ABC．
（Ⅰ）当C′D=
2
时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）当AC′⊥BD时，求三棱锥C′-ABD的高．

难度：中等

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6．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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7．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC₁，BB₁的中点．求证：
（1）平面AMP⊥平面BB₁C₁C；
（2）A₁N∥平面AMP．

难度：中等

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8．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧面A₁ADD₁⊥面ABCD，底面ABCD是矩形，且AB=2，AD=1，AA₁=
5
，∠A₁AD的余弦值为
5
5
．
（1）求证：平面A₁DCB₁⊥平面ABCD；
（2）求BD₁与平面ABCD所成角的正切值．

难度：中等

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9．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧面BCC₁B₁⊥底面ABCD，B₁C=CD=2，BB₁=2
2
．
（1）求证：平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁CD．
（2）求直线BD₁与平面A₁B₁CD所成角的正弦值．

难度：中等

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10．如图，在三棱柱FPE-ACB中，AC=BC=2，∠ACB=90°．△PAB为等边三角形，PC⊥BC．
（I）求证：平面PBC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值；并求三棱锥p-ABC的体积．

难度：中等

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