知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2
2
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

难度：中等

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2．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为AB、A₁B₁中点，现已给出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的左视图．
（1）请画出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的主视图和俯视图；
（2）请在线段BC上找一点M，使得点M和直线EF所确定的平面（设为α）垂直于面EFD₁D，在图中画出α与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁相交所成的截面，说出BM的长度，并给出证明．

难度：中等

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3．（2015秋•庄河市期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）平面BEF∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD．

难度：中等

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4．（2015秋•余干县校级期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值．

难度：较难

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5．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．

（1）求证：M、N、P、Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）在棱PC上是否存在一点M，使二面角M-BQ-C为30°，若存在，确定M的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2
2
．M是AD的中点，P是BM的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC；
（Ⅱ）若点Q在线段AC上，且满足AQ=3QC，求证：PQ∥平面BCD；
（Ⅲ）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大小．

难度：中等

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8．如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（1）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
（2）求证：平面BDE⊥平面BCD．

难度：中等

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9．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（I）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-A的大小．

难度：较难

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10．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为CD的中点．
（Ⅰ）请确定面A₁D₁F与面ABCD的交线的位置，并说明理由；
（Ⅱ）请在BB₁上确定一点E，使得面ADE⊥面A₁D₁F，并说明理由．

难度：中等

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