知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；
（2）证明：平面BDE⊥平面BCD．
（3）求三棱锥D-BCE的体积．

难度：中等

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2．（2016•朝阳区一模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=
3
．M，N分别为BC和CC₁的中点，P为侧棱BB₁上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若P为线段BB₁的中点，求证：A₁N∥平面APM；
（Ⅲ）试判断直线BC₁与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．

难度：中等

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3．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

难度：中等

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4．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC=2，AB∥CD，AB⊥BC，△PAB为等腰直角三角形且PA⊥PB．
（1）求证：平面PBC⊥平面PAB．
（2）在线段PA上求一点E，使PC∥平面EBD，并求出
PE
PA
的值．
（3）在（2）的条件下求三棱锥P-EBD的体积．

难度：中等

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5．如图，多面体SABCD中面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=
3
AD．
（I）求证：面SDB⊥面ABCD．
（Ⅱ）求面SBD与面SAB所成的二面角的正弦值．

难度：中等

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6．在三棱柱PBC-QAD中，侧面ABCD为矩形，PA⊥CD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）若BC=
6
，PB=
2
，PC=2，当三棱锥P-BCD的体积最大时，求二面角A-BP-C的大小．

难度：较难

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7．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C⊥底面ABC，∠ACB=120°，A₁C=AC=BC=2，D为AB中点．
（1）求证：平面A₁CD⊥平面A₁AB；
（2）求二面角A₁-BC-C₁的余弦值．

难度：中等

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8．如图，AD⊥平面APB，AD∥BC，AP⊥PB，R、S分别是线段AB、PC的中点．
（1）求证：RS∥平面PAD；
（2）若AB=BC=2AD=2AP，点Q在线段AB上，且BQ=3AQ，求证：平面DPQ⊥平面ADQ．

难度：中等

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9．如图，是一个正方体的平面展开图及该正方形的直观图的示意图，其中M是所在棱的中点
（1）求MN与EF所成角的余弦值；
（2）求证：平面MNF⊥平面EFN；
（3）求直线AC与平面EFM所成角的余弦值．

难度：中等

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10．如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AE∥CF，AB=AE=1，AF⊥BE．
（Ⅰ）求证：平面BAF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-AF-D的余弦值．

难度：中等

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