知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA₁=2
2
，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且CO⊥ABB₁A₁平面．
（1）证明：BC⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•邢台校级月考）如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上的一点．
（1）求证：B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）是否存在点M，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D？若存在，试确定点M的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）
（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值．
（2）当f（x）取最大值时，是否有BD⊥EG，并说明理由．

难度：较难

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4．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（　　）

A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB

B．异面直线AD与PB所成的角为90°

C．二面角P-BC-A的大小为45°

D．BD⊥平面PAC

难度：较难

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5．（2015•绍兴校级模拟）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围．

难度：较难

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6．如图，平面ABDE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，AE=2BD=4，P、M分别为CE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PD∥平面ABC；
（Ⅱ）是否在EM上存在一点N，使得PN⊥平面ABDE．若存在，请指出点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．如图，直三棱柱ABC一A₁B₁C₁中，AB=
2
，AC=3，BC=
5
，D是AC_l的中点，E是侧棱BB₁上的一个动点
（1）当E是BB₁的中点时，证明：DE∥平面A₁B₁C₁
（2）在棱BB₁上是否存在点E使平面AC₁E⊥平面AC₁C？若存在，求出
BE
BB1
的值，若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=
π
2
，AB=BC=
1
2
AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A₁BE的位置，得到四棱锥A₁-BCDE．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）当平面A₁BE⊥平面BCDE时，四棱锥A₁-BCDE的体积为36
2
，求a的值．

难度：中等

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9．如图，在四面体P-ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，AB⊥BP，点P在底面ABC上的射影为H，BH=
3
3
，二面角C-AB-P的正切值为
5
．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值．

难度：中等

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10．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面AEC⊥平面ABCD，∠ACB=90°，EF∥BC，EF=
1
2
BC，AC=BC=2，AE=EC．
（Ⅰ）求证：AF=CF；
（Ⅱ）当二面角A-EC-D的平面角的余弦值为
3
3
时，求三棱锥A-EFC的体积．

难度：中等

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