知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁的截面面积为S，则S的取值范围是．

难度：中等

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2．已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，F是棱BC的中点，M是线段A₁F上的动点，则△MDD₁与△MCC₁的面积和的最小值是．

难度：较易

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3．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC₁|=2的点P的个数为．

难度：中等

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4．（2016秋•昌江区校级期末）如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，四边形BCC₁B₁为矩形．
（1）求证△A₁BC为等腰三角形；
（2）若∠A1BC=
π
3
，AB⊥AC，平面A₁BC⊥平面ABC，求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

难度：中等

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5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为
3
2
2
，设三棱锥A-A₁D₁E外接球的直径为a，则
a
|AB|
= ．

难度：中等

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6．将一个四面体PABC铁皮盒沿侧棱PA，PB，PC剪开，展平后恰好成一个正三角形．
（Ⅰ）在四面体PABC中，求证：PA⊥BC．
（Ⅱ）若PA=
2
，求铁皮盒的容积．

难度：中等

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7．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=5，AD=4，BD=3，将△BCD沿着BD翻折到平面BC₁D处（不与平面ABCD重合），E，F分别为对边AB，C₁D的中点，
（Ⅰ）求证：EF⊥BD；
（Ⅱ）若异面直线EF，BC₁所成的角为30°，求二面角C₁-AB-D的平面角的正切值．

难度：中等

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8．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为a，P为A₁B上的点．
（1）试确定
A1P
PB
的值，使得PC⊥AB；
（2在直线A₁B上找一点P使二面角P-AC-B的大小为60°，求
A1P
PB
的值；
（3）在（2）条件下，求C₁到平面PAC的距离．

难度：较难

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9．（2012•南充三模）如图，边长为1的正方体ABCD-A_lB₁ C₁ D₁的顶点都在以O为球心的球面上，则A，C两点在该球面上的球面距离为．

难度：中等

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10．（2010秋•北碚区校级期末）如图是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一种平面展开图，在这个正方体中，E、F、M、N均为所在棱的中点
①NE∥平面ABCD；
②FN∥DE；
③CN与AM是异面直线；
④FM与BD₁垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是．

难度：较难

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