知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵．
（Ⅰ）求（MN）^-1；
（Ⅱ）判断矩阵MN是否存在特征值．

难度：较难

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2．已知
a
=
1
1
为矩阵A=
1 a
-1 4
属于特征值λ的一个特征向量．
（Ⅰ）求实数a，λ的值；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．

难度：较难

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3．已知矩阵M=
2 a
2 1
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P（-4，0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

难度：较难

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4．已知矩阵M=（
1 0
0 -1
），N=（
1 2
3 4
）．
（Ⅰ）求使得MX=N成立的二阶矩阵X；
（Ⅱ）求矩阵X的特征值以及每个特征值所对应的一个特征向量．

难度：较难

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5．已知二阶矩阵M=
a 1
3 d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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6．已知二阶矩阵M=
a 1
0 b
有特征值λ₁=2及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若
a
=
2
1
，求M¹⁰
a
．

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7．已知矩阵A=
a b
-1 4
，A的两个特征值为λ₁=2，λ₂=3．
（1）求a，b的值；
（2）求属于λ₂的一个特征向量
α
．

难度：较难

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8．选修4-2　矩阵与变换
已知矩阵M=
a 1
c 0
的一个特征根为-1，属于它的一个特征向量
1
-3
．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x²+y²=1经过矩阵M所对应的变换得到曲线C，求曲线C的方程．

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9．已知圆x²+y²=1在矩阵M=
a 0
0 b
（a＞0，b＞0）对应的变换作用下得到椭圆x²+4y²=1，求矩阵M的特征值和特征向量．

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10．如图，矩形OABC和平行四边形OA₁B₁C₁的部分顶点坐标为：A（-1，0），B（-1，2），A₁（
1
2
，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₁C₁的线性变换对应的矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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