知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵M=
a 1
b 1
的一个特征值l所对应的特征向量为
1
0
．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+2xy+2y²=1在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程．

难度：较难

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2．已知矩阵A=
a b
2 1
，若矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为α₁=
1
-1
，属于特征值4的一个特征向量为α₂=
3
2
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵A^-1．

难度：较难

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3．已知矩阵A=
a 2
-1 4
．A的一个特征值λ=2．
（1）求矩阵A；
（2）在平面直角坐标系中，点P（1，1）依次在矩阵A所对应的变换σ和关于x轴对称的反射变换γ的作用下得到点P′，写出复合变换γ•σ的变换公式，并求出点P′的坐标．

难度：较难

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4．已知矩阵A=
1 2
-1 4
．
（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和对应的一个特征向量
α1
、
α2
．

难度：较难

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5．已知二阶矩阵M=
a 1
3 b
的特征值λ=-1所对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（1）求矩阵M；
（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C′的方程为xy=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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6．已知
α
=
2
1
为矩阵A=
1 a
-1 4
属于特征值λ的一个特征向量．
（Ⅰ）求实数a，λ的值；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：较难

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7．已经矩阵M=
4 0
0 5
．
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．

难度：中等

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8．设矩阵A=MN，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．其中 M=
1
1
2
4
，N=
1
-1
2
1
．

难度：较难

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9．已知矩阵M=
2a
21
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M对应的变换下得到点P′（-4，0），如果正实数λ是矩阵M的特征值，α是对应的一个特征向量且|α|=2
13
，求向量λ的值与向量α．

难度：中等

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10．设矩阵M=
2 1
4 a
，如果关于x、y的方程组M
x
y
=
1
6
没有实数解，那么矩阵M是否有非零特征值？如果有，求出这个特征值和对应的一个特征向量；如果没有，说明理由．

难度：中等

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