知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设矩阵A=
1 a
0 1
（a≠0）．
（1）求A²，A³，并猜想Aⁿ（n∈N^*）；
（2）利用（1）所猜想的结论，求证：Aⁿ的特征值是与n无关的常数，并求出此常数．

难度：中等

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2．已知矩阵A=
1
-1

2
4
．
（Ⅰ）求A的逆矩阵A^-1；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和对应的特征向量
α1
、
α2
．

难度：较难

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3．已知矩阵M=
2 a
2 1
，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P（-4，0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

难度：较难

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4．已知矩阵M=（
1 0
0 -1
），N=（
1 2
3 4
）．
（Ⅰ）求使得MX=N成立的二阶矩阵X；
（Ⅱ）求矩阵X的特征值以及每个特征值所对应的一个特征向量．

难度：较难

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5．已知二阶矩阵M有特征值λ=1及对应的一个特征向量e1=
1
-1
，且M
1
1
=
3
1
．求矩阵M．

难度：较难

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6．已知矩阵M有特征值λ₁=8及对应特征向量a₁=[
1
1
]，且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下得到直线l′：x-2y=4，求直线l方程．

难度：较难

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7．已知二阶矩阵M=
a 1
3 d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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8．已知二阶矩阵M=
a 1
0 b
有特征值λ₁=2及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若
a
=
2
1
，求M¹⁰
a
．

难度：较难

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9．已知矩阵A=
1 2
-2 -3
，B=
0 1
1 -2
．
（Ⅰ）求A^-1以及满足AX=B的矩阵X．
（Ⅱ）求曲线C：x²-4xy+y²=1在矩阵B所对应的线性变换作用下得到的曲线C′的方程．

难度：较易

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10．已知矩阵M=
4-3
2-1
，向量
α
=
7
5

（Ⅰ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；
（Ⅱ）求M³
α
．

难度：较难

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