知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
3 3
c d
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
（1）求矩阵A；
（2）判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵．

难度：较难

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2．已知矩阵M1=
2 1
-2 -3
，矩阵M₂表示的是将每个点绕原点逆时针旋转
π
2
得到的矩阵，M=M₂M₁
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

难度：较易

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3． B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵M
1 2
2 x
的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．

难度：中等

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4．在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A（1，2）变成了点A′（4，5）点B（3，-1）变成了点B′（5，1），那么矩阵M= ，圆x+2y-1=0经矩阵M对应的变换后的曲线方程．

难度：中等

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5．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
1 2
3 4
．
①求矩阵A的逆矩阵B；
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x，求直线l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a为参数），点Q极坐标为（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范围．
（II）设x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范围．

难度：较难

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6．选修4-2：矩阵与变换
已知M=
1 2
2 1
，β=
1
7
，试计算M³β．

难度：中等

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7．选修4-2：矩阵与变换：
已知矩阵A=
3 0
1 1
．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）求A的逆矩阵A^-1．

难度：中等

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8．已知矩阵A=（

1
-1

2
4
），向量α=（

7
4
）．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂和对应的一个特征向量α₁，α₂；
（2）计算A⁵α的值．

难度：较易

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9．若矩阵A有特征向量i=（

1
0
）和j=（

0
1
），且它们所对应的特征值分别为λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A^-1；
（2）求逆矩阵A^-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（

x
y
），求（（A^-1）²⁰α．

难度：较难

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10．求矩阵M=
-1 2
5
2
3
的特征值和特征向量．

难度：较难

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