知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C₁的极坐标方程为ρcos（θ-
π
3
）=-1，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2
2
cos（θ-
π
4
）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求曲线C₂上的动点M到曲线C₁的距离的最大值．

难度：较难

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2．曲线C的极坐标方程为ρcos（θ-
π
3
）=
1
2
，以极点O为原点，极轴Ox为x的非负半轴，保持单位长度不变建立直角坐标系xOy．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程为
x=-2+tcos60°
y=tsin60°
（t为参数）．若C与l的交点为P，求点P与点A（-2，0）的距离|PA|．

难度：较难

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3．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²=
2
3+cos2θ
，以极点O为原点，以极轴为x轴正向建立直角坐标系，将曲线C₁上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的
1
2
倍后得曲线C₂．
（1）试写出曲线C₁的直角坐标方程．
（2）在曲线C₂上任取一点R，求点R到直线l：x+y-5=0的距离的最大值．

难度：较难

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4．已知直线l的参数方程为
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t
（t为参数），圆M的直角坐标方程为（x-a）²+（y-b）²=1，且圆M上的点到直线l的最小距离为1．
（1）求a-b的值；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆N的极坐标方程为ρ=2cosθ，当a=1，b=1时，求圆M和圆N公共弦长．

难度：较难

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5．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（
2
3
3
，
π
2
）．圆C的参数方程为
x=2+2cosθ
y=-3+2sinθ
，（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．

难度：较难

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6．已知曲线C₁的参数方程为
x=4+5cost
y=5+5sint
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

难度：较难

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7．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=t+1
y=2t
，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P是曲线C上的动点，求它到直线l的距离d的取值范围．

难度：较难

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8．已知直线l的参数方程为
x=
3
-
3
2
t
y=-1+
1
2
t
（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=
2
cos（θ+
π
4
）（极点与坐标原点重合，极轴与x轴的正半轴重合）．
（Ⅰ）求直线l被曲线C所截的弦长；
（Ⅱ）将曲线C以极点为中心，逆时针旋转α角得到曲线C′．使得曲线C′与直线l相切，求α角的最小正值．

难度：中等

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9．已知曲线C：
x=3cosθ
y=3sinθ
，直线l：ρ（2cosθ-3sinθ）=13．
（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值．

难度：中等

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10．已知直线C₁：
x=
4
5
t
y=
3
5
t
（t为参数），曲线C₂：ρ+
1
ρ
=2
2
sin（θ+
π
4
）．
（1）求直线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求直线C₁被曲线C₂所截的弦长．

难度：较难

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