知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

在平面直角坐标系\(xoy\)中，直线\(l\)的参数方程\(\begin{cases} & x=2+\dfrac{1}{2}t \\ & y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}t \end{cases}(t\)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为：\(\rho =4\cos \theta \)．
\((1)\)把直线\(l\)的参数方程化为极坐标方程，把曲线\(C\)的极坐标方程化为普通方程；
\((2)\)求直线\(l\)与曲线\(C\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,0\leqslant \theta < 2\pi ).\)

难度：较难

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2．

\([\)选修\(4-4\)：坐标系与参数方程\(]\)

在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+t\cos α \\ y=2+t\sin α\end{cases} (t\)为参数\()\)，在极坐标系\((\)与直角坐标系\(xOy\)取相同的长度单位，且以原点\(O\)为极点，以\(x\)轴非负半轴为极轴\()\)中，圆\(C\)的方程为\(ρ=6\sin θ \)

\((1)\)求圆\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)若点\(P(1,\ 2)\)，设圆\(C\)与直线\(l\)交于点\(A\)，\(B.\)求\(∣PA∣+∣PB∣\)的最小值．

难度：难

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3．
【选修\(4\)一\(4\)，坐标系与参数方程】
已知直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}t \\ y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}t \end{cases}(t\)为参数\()\)，椭圆\(C\)的参数方程为\(\begin{cases} x=2\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{cases}(\alpha \)为参数\()\)。在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点\(A\)的极坐标为\((2,\dfrac{\pi }{3})\)
\((1)\)求椭圆\(C\)的直角坐标方程和点\(A\)在直角坐标系下的坐标
\((2)\)直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，求\(\triangle APQ\)的面积

难度：中等

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4．
在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=3\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases} (θ \)为参数\()\)，直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{matrix}x=a+4t \\ y=1-t\end{matrix}(t\right. \)为参数\() \)．
\((1)\)若\(a=-1\)，求\(C\)与\(l\)的交点坐标；
\((2)\)若\(C\)上的点到\(l\)距离的最大值为\( \sqrt{17} \)，求\(a\)．

难度：难

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5．

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点\(A\)的极坐标为\(\left( 4\sqrt{2},\dfrac{\pi }{4} \right)\)，直线\(l\)的极坐标方程为\(\rho {\cos }\left( \theta -\dfrac{\pi }{4} \right)=a\)，且\(l\)过点\(A\)，曲线\({{C}_{1}}\)的参考方程为\({ }\!\!\{\!\!{ }\begin{matrix} x=2\cos \theta \\ y=\sqrt{3}\sin \theta \\\end{matrix}{ }(\theta \)为参数\()\)．

\((1)\)求曲线\({{C}_{1}}\)上的点到直线\(l\)的距离的最大值与最小值；

\((2)\)过点\(B\left( -2,2 \right)\)与直线\(l\)平行的直线\({{l}_{1}}\)与曲线\({{C}_{1}}\)交于\(M,N\)两点，求\(\left| BM \right|\cdot \left| BN \right|\)

难度：中等

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6．
已知过点\(P(m,0)\)的直线\(l\)的参数方程是\( \begin{cases} \overset{x= \dfrac { \sqrt {3}}{2}t+m}{y= \dfrac {1}{2}t}\end{cases}(t\)为参数\().\)以平面直角坐标系的原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程式为\(ρ=2\cos θ\)．
\((\)Ⅰ\()\)求直线\(l\)的普通方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；
\((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)与曲线\(C\)交于两点\(A\)，\(B\)，且\(|PA|⋅|PB|=1\)，求实数\(m\)的值．

难度：较易

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7．以直角坐标系的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=t\sin ϕ \\ y=2+t\cos ϕ\end{cases} (t\)为参数，\(0 < φ < π)\)，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ\cos ^{2}θ=8\sin θ\)．

\((1)\)求直线\(l\)的普通方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，当\(φ\)变化时，求\(|AB|\)的最小值．

难度：难

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8．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为：\(\begin{cases}x=1- \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t \\ y= \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t\end{cases} (t\)为参数\().\)以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=2 \sqrt{2}\sin θ\left(θ+ \dfrac{π}{4}\right) \)．

\((1)\)求曲线\(C\)的平面直角坐标方程；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)交于点\(M\)，\(N\)，若点\(P\)的坐标为\((1,0)\)，求点\(P\)与\(MN\)中点的距离．

难度：较难

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9．
已知曲线\(a > 0,b > 0,\)，直线\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\sqrt{ab}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}\)为参数\()\)

\((1)\)写出曲线\(a,b\)的参数方程，直线\(2a+3b=6\)的普通方程；过曲线\(a,b\)上任意一点\(P\)作与\(2a+3b=6\)夹角为\(30^{\circ}\)的直线，交\(2a+3b=6\)于点\(A\)，求\(\left| PA \right|\)的最大值与最小值．

难度：难

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10．
在直角坐标系\(xOy\)中，以原点\(O\)为极点，以\(x\)轴非负半轴为极轴，与直角坐标系\(xOy\)取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线\(C\)参数方程为\(\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos q \\ y=\sin q\end{cases} (q\)为参数\()\)，直线\(l\)的极坐标方程为\(r\cos (q- \dfrac{p}{4})=2 \sqrt{2} \)．

\((1)\)写出曲线\(C\)的普通方程和直线\(l\)的直角坐标方程；

\((2)\)求曲线\(C\)上的点到直线\(l\)的最大距离．

难度：难

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