知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程是\(\begin{cases} x=2+t\cos α \\ y=t\sin α \end{cases}(t\)为参数\()\)，以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ^{2}\cos ^{2}θ+2ρ^{2}\sin ^{2}θ=12\)，且直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点．

\((1)\)求曲线\(C\)的直角坐标方程及直线\(l\)恒过的定点\(A\)的坐标；

\((2)\)在\((1)\)的条件下，若\(|AP||AQ|=6\)，求直线\(l\)的普通方程．

难度：较难

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2．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho{-}2\cos\theta{-}6\sin\theta{+}\dfrac{1}{\rho}{=}0\)，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} x{=}3{+}\dfrac{1}{2}t \\ y{=}3{+}\dfrac{\sqrt{3}}{2}t \end{cases}\ (t\)为参数\()\)．
\((1)\)求曲线\(C\)的普通方程；
\((2)\)若直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A{,}B\)两点，点\(P\)的坐标为\((3{,}3)\)，求\({|}PA{|} + {|}PB{|}\)的值．

难度：较易

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3．

选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，过 \(M(2,1)\) 的直线 \(l\) 的倾斜角为\( \dfrac{π}{4} \)，以坐标原点为极点，\(x\) 轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆 \(C\) 的极坐标方程为\(ρ=4 \sqrt{2}\sin \left(θ+ \dfrac{π}{4}\right) \)．

\((1)\)求直线 \(l\) 的参数方程与圆 \(C\) 的直角坐标方程；

\((2)\)设圆 \(C\) 与直线 \(l\) 交于 \(A\)，\(B\) 两点，求\( \dfrac{1}{\left|MA\right|}+ \dfrac{1}{\left|MB\right|} \) 的值．

难度：中等

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4．直线\(\begin{cases} x=\sin θ+t\sin 15^{\circ}, \\ y=\cos θ-t\sin 75^{\circ} \end{cases}\)\((t\)为参数，\(θ\)是常数\()\)的倾斜角是\((\)　　\()\)

A．\(105^{\circ}\)

B．\(75^{\circ}\)

C．\(15^{\circ}\)

D．\(165^{\circ}\)

难度：较易

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5．
\((1)\) 选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=-2-3t, \\ & y=2-4t. \end{cases}(t\)为参数\()\)它与曲线\(C\)：\({{(y-2)}^{2}}-{{x}^{2}}=1\)交于\(A\)、\(B\)两点．

\((\)Ⅰ\()\)求\(|AB|\)的长；

\((\)Ⅱ\()\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点\(P\)的极坐标为\(\left(2 \sqrt{2}, \dfrac{3π}{4}\right) \)，求点\(P\)到线段\(AB\)中点\(M\)的距离．

\((2)\)选修\(4-5\)：不等式选讲

\((\)Ⅰ\()\)求函数\(y=\sqrt{x-5}+\sqrt{6-x}\)的最大值；

\((\)Ⅱ\()\)已知\(x\in R\)且\(x > -1{{,}_{{}}}x\ne 0\)，\(n\)为大于\(1\)的自然数，证明：\({{(1+x)}^{n}} > 1+nx\)

难度：中等

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6．
\((\)坐标系与参数方程选做题\()\)
在直角坐标\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\( \begin{cases} x=2+t \\ y=-1-t\end{cases}(t\)为参数\()\)，曲线\(C_{2}\)的参数方程为\( \begin{cases} x=3\cos \alpha \\ y=3\sin \alpha \end{cases}(α\)为参数\()\)，则曲线\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的交点个数为____________．

难度：易

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7．
已知直线 \(l\)的参数方程是\(\begin{cases}x= \dfrac{ \sqrt{2}t}{2}+1 \\ y=- \dfrac{ \sqrt{2}t}{2}\end{cases} ( \)\(t\)是参数\()\)，以坐标原点为极点， \(x\)轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆\(C\)的极坐标方程为\(ρ=2 \sqrt{2} \) \(\cos \)\((θ+ \dfrac{π}{4} ).\)
\((1)\)求直线 \(l\)的普通方程与圆\(C\)的直角坐标方程；
\((2)\)设圆\(C\)与直线 \(l\)交于\(A\)、\(B\)两点，若\(P\)点的直角坐标为\((1,0)\)，求\(|PA|+|PB|\)的值．

难度：难

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8．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知直线\(l\)的参数方程为：\(\begin{cases} & x=1+t \\ & y=2-2t \\ \end{cases}\) \((\)\(t\)为参数\().\)以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆\(C\)的极坐标方程为\(ρ\)\(=2\cos \)\(θ\)\(.\)直线\(l\)与圆相交于\(A\)，\(B\)两点，求线段\(AB\)的长．

难度：易

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9．
已知在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x=t-3 \\ y= \sqrt {3}t\end{cases}\)，\((t\)为参数\()\)，以坐标原点为
极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ^{2}-4ρ\cos θ+3=0\)．
\((\)Ⅰ\()\)求直线\(l\)的普通方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；
\((\)Ⅱ\()\)设点\(P\)是曲线\(C\)上的一个动点，求它到直线\(l\)的距离\(d\)的取值范围．

难度：中等

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10．

\([\)选修\(4-4\)：参数方程与坐标系\(]\)

以直角坐标系的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点\(P\)的直角坐标为\((1,2)\)，点\(M\)的极坐标为\((3, \dfrac{π}{2}) \)，若直线\(l\)过点\(P\)，且倾斜角为\( \dfrac{π}{6} \)，圆\(C\)以\(M\)为圆心，\(3\)为半径．

\((1)\)求直线\(l\)的参数方程和圆\(C\)的极坐标方程；

\((2)\)设直线\(l\)与圆\(C\)相交于\(A,B\)两点，求\(\left|PA\right|·\left|PB\right| \)．

难度：中等

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