知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是
x=acosφ
y=
3
sinφ
（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是
x=3+t
y=-1-t
（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（Ⅰ）求曲线C普通方程；
（Ⅱ）若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+
2π
3
)，C(ρ3，θ+
4π
3
)在曲线C上，求
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
1
|OC|2
的值．

难度：较难

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2．已知直线l：
x=m+tcosα
y=tsinα
（t为参数）经过椭圆C：
x=2cosφ
y=
3
sinφ
（φ为参数）的左焦点F．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．

难度：中等

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3．已知椭圆
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）
（1）求该椭圆的焦点坐标和离心率；
（2）已知点P是椭圆上任意一点，求点P与点M（0，2）的距离|PM|的最大值．

难度：较难

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4．设直线l过点P（-3，3），且倾斜角为
5
6
π
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设此直线与曲线C：
x=2cosθ
y=4sinθ
（θ为参数）交A、B两点，求|PA|•|PB|

难度：中等

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5．已知圆C方程：（x-1）²+y²=9，垂直于x轴的直线L与圆C相切于N点（N在圆心C的右侧），平面上有一动点P，若PQ⊥L，垂足为Q，且
|PC|
|PQ|
=
1
2
；
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知D为点P的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O为原点，A、B分别为点P的轨迹曲线与x，y轴的正半轴的交点，求四边形OADB的最大面积及D点坐标．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系中，已知两圆C₁：（x-1）²+y²=25和C₂：（x+1）²+y²=1，动圆在C₁内部且和圆C₁相内切并和圆C₂相外切，动圆圆心的轨迹为E．
（1）求E的标准方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

难度：中等

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7．极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-1=0的直线与x轴的交点为P，与椭圆
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）交于A，B，求|PA|•|PB|．

难度：较难

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8．在直角坐标平面内，曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
（α为参数），经过变换
X=
1
2
x+1
Y=y
后曲线C变换为曲线C′
（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C′的极坐标方程；
（2）求证：直线x-
2
y-2=0与曲线C'的交点在曲线C上．

难度：中等

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