在平面直角坐标系\(xOy\)中，以坐标原点\(O\)为极点，以\(x\)轴非负半轴为极轴建立极坐标系\(.\)已知曲线\(C\)的极坐标方程为\({{\rho }^{2}}=1+2\rho \cos \theta \)．

\((\)Ⅰ\()\)试将曲线\(C\)的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；

\((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)过定点\(P\left( 1,\dfrac{1}{2} \right)\)，直线\(l\)交曲线\(C\)于\(A\)、\(B\)两点，求\(\left| \dfrac{1}{\left| PA \right|}-\dfrac{1}{\left| PB \right|} \right|\)的最大值．

在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\{\begin{matrix} & x=2\cos ⁡a \\ & y=2+2\sin ⁡a\end{matrix} \) \((α\)为参数\()M\)是\(C_{1}\)上的动点，\(P\)点满足\( \overset{→}{OP}=2 \overset{→}{OM} \)，\(P\)点的轨迹为曲线\(C_{2}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(C_{2}\)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线\(θ= \dfrac{π}{3} \)与\(C_{1}\)的异于极点的交点为\(A\)，与\(C_{2}\)的异于极点的交点为\(B\)，求\(|AB|\)．

已知过点\(P\left(m,0\right) \)的直线\(l\)的参数方程是\(\begin{cases} & x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}t+m \\ & y=\dfrac{1}{2}t \end{cases}\)\((\)\(t\)为参数\().\)以平面直角坐标系的原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho =2\cos \theta \)．

\((\)Ⅰ\()\)求直线\(l\)的普通方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)与曲线\(C\)交于两点\(A,B\)，且\(|PA|\cdot |PB|=1\)，求实数\(m\)的值．

\((1)\)选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

在直角坐标系\(xoy\)中，以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆\(C\)的极坐标方程为\(\rho =2\cos \theta \)，\(\theta \in \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]\) ．

\((\)Ⅰ\()\)求\(C\)的参数方程；

\((\)Ⅱ\()\)设点\(D\)在\(C\)上，\(C\)在\(D\)处的切线与直线\(y= \sqrt{3}x+2 \)垂直，根据\((\)Ⅰ\()\)中你得到的参数方程，确定\(D\)的坐标．

\((2)\)选修\(4-5\)：不等式选讲

设函数\(f\left(x\right)=\left|x+ \dfrac{1}{a}\right|+\left|x-a\right|\left(a > 0\right) \)

\((\)Ⅰ\()\)证明：\(f\left(x\right)\geqslant 2 \) ；

\((\)Ⅱ\()\)若\(f\left(3\right) < 5 \)，求\(a \)的取值范围．