知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在平面直角坐标系中，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆\(C\)的圆心\(C(\sqrt{2}{,}\dfrac{3\pi}{4})\)，半径\(r{=}1\)

\((1)\)求圆\(C\)的极坐标方程；

\((2)\)若\(\alpha{∈[}0{,}\dfrac{\pi}{3}{]}\)，直线\(l\)的参数方程为\(\{\begin{matrix} x{=}{t\cos α} \\ y{=}2{+}{t\sin α} \\ \end{matrix}(t\)为参数\()\)，点\(P\)的直角坐标为\((0,2)\)，直线\(l\)交圆\(C\)与\(A\)，\(B\)两点，求\(\dfrac{{|}{PA}{|⋅|}{PB}{|}}{{|}{PA}{|}\mathrm{{+}}{|}{PB}{|}}\)的最小值．

难度：中等

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2．

在极坐标系中，圆\({ }\!\!\rho\!\!{ }={\sin }\theta \)的圆心的极坐标是( )

A．\(\left( 1,\dfrac{\pi }{2} \right)\)

B．\(\left( 1,0 \right)\)

C．\(\left( \dfrac{1}{2},\dfrac{\pi }{2} \right)\)

D．\(\left( \dfrac{1}{2},0 \right)\)

难度：易

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3．
I. 在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)过点\(P(1,2)\)，且倾斜角为\(α\)，\(α ∈\)\(\left.\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right( \)\(0\)，\( \dfrac{π}{2}\left)\begin{matrix} \\ \end{matrix}\right.\) \(.\)以直角坐标系的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ\)\({\,\!}^{2}\) \((3 + \sin \)\({\,\!}^{2}\) \(θ)= 12\)．
\((1)\)求直线\(l\)的参数方程和曲线\(C\)的直角坐标方程，并判断曲线\(C\)是什么曲线；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(M\)、\(N\)两点，当\(|PM|·|PN|= 2\)时，求\(α\)的值．

\(II\)．已知已知函数\(ƒ(x)=|x − 2a|+|x + 3|\)，\(g(x)=|x − 2|+ 3\)．
\((1)\)解不等式\(|g(x)| < 6\)；

\((2)\)若对任意的\(x\)\({\,\!}_{2}\) \(∈ R\)，均存在\(x\)\({\,\!}_{1}\) \(∈ R\)，使得\(g(x\)\({\,\!}_{1}\)\()= ƒ(x\)\({\,\!}_{2}\)\()\)成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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4．从极点\(O\)引定圆\(ρ=2\cos θ\)的弦\(OP\)，延长\(OP\)到\(Q\)使\( \dfrac{OP}{PQ}\)\(=\)\( \dfrac{2}{3}\)，求点\(Q\)的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形．

难度：中等

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5．

在直角坐标系中，点\(P\)坐标是\((-3,3)\)，以原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，点\(P\)的极坐标是( )

A．\(\left(3 \sqrt{2}, \dfrac{3π}{4}\right) \)

B．\(\left(3 \sqrt{2}, \dfrac{5π}{4}\right) \)

C．\(\left(3, \dfrac{5π}{4}\right) \)

D．\(\left(3, \dfrac{3π}{4}\right) \)

难度：中等

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6．
在直角坐标系\(xOy\)中，\(M(-2,0).\)以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，\(A(ρ,θ)\)为曲线\(C\)上一点，\(B\left(\begin{matrix} \begin{matrix}ρ,θ+ \dfrac{π}{3} \end{matrix}\end{matrix}\right)\)，\(|BM|=1\)．

\((1)\)求曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)求\(|OA|^{2}+|MA|^{2}\)的取值范围．

难度：较难

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7．

平面直角坐标系\(xOy\)中，倾斜角为\(\alpha \)的直线\(l\)过点\(M\left( -2,-4 \right)\)，以原点\(O\)为极点， \(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho {si}{{{n}}^{2}}\theta =2{\cos }\theta \)．

\((1)\)写出直线\(l\)的参数方程\((\alpha \)为常数\()\)和曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)若直线\(l\)与\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，且\(\left| MA \right|\cdot \left| MB \right|=40\)，求倾斜角\(\alpha \)的值．

难度：中等

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8．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)：\( \sqrt{3}x+y-4=0 \)，曲线\(C_{2}\)：\(\begin{cases}x=\cos θ, \\ y=1+\sin θ\end{cases} (θ\)为参数\()\)，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C_{1}\)，\(C_{2}\)的极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)曲线\(C_{3}\)：\(\begin{cases}x=t\cos α, \\ y=t\sin α,\end{cases} (t\)为参数，\(t > 0\)，\(0 < α < \dfrac{π}{2} )\)分别交\(C_{1}\)，\(C_{2}\)于\(A\)，\(B\)两点，当\(α\)取何值时，\( \dfrac{\left|OB\right|}{|OA|} \)取得最大值．

难度：中等

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9．
在直角坐标系\(xOy\)中，以坐标原点为极点，\(x\)轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=4 \sqrt{2}\sin (θ+ \dfrac{π}{4}) \)，直线\(l\)的极坐标方程为\(θ={θ}_{0} \)\((\)\(ρ∈R \)\()\)，曲线\(C\)与直线\(l\)相交于\(A\)，\(B\)两点．

\((1)\)当\({θ}_{0}= \dfrac{π}{12} \)时，求\(|AB|\)；

\((2)\)设\(AB\)中点为\(P\)，当\({θ}_{0} \)变化时，求点\(P\)轨迹的参数方程．

难度：较难

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10．在极坐标系中，极点为 \(O\)，已知曲线 \(C\)\({\,\!}_{1}\)：与曲线 \(C\)\({\,\!}_{2}\)：交于不同的两点、 \(.\)以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．

\((1)\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)与曲线\(C\)\({\,\!}_{2}\)的直角坐标方程；

\((2)\)求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．

难度：较易

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