知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c均为实数，且a=x²-2y+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，b=y²-2z+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，c=z²-2x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：较易

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2．（1）用综合法证明：a+b+c≥ $%20%5Csqrt%20%7Bab%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7Bbc%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7Bca%7D$ （a，b，c∈R⁺）
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x²-2y+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，b=y²-2z+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，c=z²-2x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：较易

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3．（1）求证： $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B7%7D$ ＞2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ；
（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bb%7D%7Ba%7D$ 和 $%20%5Cfrac%20%7B1%2Ba%7D%7Bb%7D$ 中至少有一个小于2．

难度：较易

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4．已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2．
（1）求a+b的取值范围；
（2）用反证法证明：a，b中至少有一个大于等于0．

难度：较易

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5．已知 $x%E2%88%88R%EF%BC%8Ca%3Dx%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8Cb%3D2-x%EF%BC%8Cc%3Dx%5E%7B2%7D-x%2B1$ ，试用反证法证明：a，b，c中至少有一个不小于1．

难度：较易

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6．关于复数z的方程z²-（a+i）z-（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有实数解，求a的值；
（2）用反证法证明：对任意的实数a，原方程不可能有纯虚根．

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7．已知 $a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%5Ctext%7B%E4%B8%94%7Da%2Bb%EF%BC%9E2%EF%BC%8C%5Ctext%7B%E6%B1%82%E8%AF%81%7D%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7B1%2Bb%7D%7Ba%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%2Ba%7D%7Bb%7D$ 中至少有一个小于2．

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8．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）中的a，b，c均为奇数，求证：方程f（x）=0无整数根．

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9．（1）求证： $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B7%7D$ ＞1+ $%20%5Csqrt%20%7B13%7D$ ；
（2）已知x，y∈R⁺，且x+y＞1，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ 与 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ 中至少有一个小于3．

难度：较易

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10．若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求证：（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a不能同时大于1．

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