知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（Ⅰ）求证：当a＞2时，
a+2
+
a-2
＜2
a
；
（Ⅱ）证明：2，
3
，5不可能是同一个等差数列中的三项．

难度：中等

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2．（1）求证：已知：a＞0，求证：
a+5
-
a+3
＞
a+6
-
a+4

（2）已知a，b，c均为实数且a=x²+2y+
π
2
，b=y²-2z+
π
3
，c=z²-2x+
π
6
，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：中等

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3．已知a，b，c均为实数，且a=x²﹣2y+ $\text{[math]}$ ，b=y²﹣2z+ $\text{[math]}$ ，c=z²﹣2x+ $\text{[math]}$ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：中等

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4．已知：a，b，c∈（﹣∞，0），求证：a+ $\text{[math]}$ ，b+ $\text{[math]}$ ，c+ $\text{[math]}$ 中至少有一个不大于﹣2．

难度：中等

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5．（1）设a，b，c均为正数，求证：a+
1
b
，b+
1
c
，c+
1
a
中至少有一个不小于2；
（2）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0（其中f′（x）是f（x）导函数）．已知g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）n∈N^*．
（1）求g₁（x），g₂（x）；
（2）猜想g_n（x）表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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6．已知定义在R上的函数f（x）=x²+bx+c（a∈R，c∈R），定义：f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．n≥2，n∈N^*
（1）若b=c=1，当n=1，2时比较f_n（x）与x的大小关系．
（2）若对任意的x∈R，都有使得f₂₀₁₂（x）＞x，用反证法证明：4c＞（b-1）²．

难度：较难

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7．已知a＞0，b＞0，用下面要求的方法证明：
a
b
+
b
a
≥
a
+
b
．
（1）分析法；
（2）反证法．

难度：中等

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8．设函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b（a＞0）中，|f（0）|≤2，|f（1）|≤2，
（1）证明：0≤x≤1时，有|f（x）|≤2；
（2）是否存在函数f（x）使f（
1
2
）=-2？若存在求出函数f（x）的解析式，若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．已知数列a_n=
1
(3n-2n)
，求证：前n项和S_n＜
3
2
．

难度：中等

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10．如图，已知D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，F是线段DE上的任意一点，DE∥BC，且S_△ABC=1，求证：△BDF和△CEF中至少有一个三角形的面积不大于
1
8
．

难度：中等

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