知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知$f(x)= \sqrt{1+x^{2}}$，$a\neq b$，求证：$|f(a)-f(b)| < |a-b|$．

难度：中等

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2．

数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{n+1}= \dfrac{n+1}{2n}a_{n}(n∈N^{*}).$

$(1)$证明：数列$\left\{ \left. \dfrac{a_{n}}{n} \right. \right\}$是等比数列，并求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；

$(2)$设$b_{n}= \dfrac{a_{n}}{4n-a_{n}}$，若数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和是$T_{n}$，求证：$T_{n} < 2$．

难度：难

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3．

已知${{a}_{n}}=\sqrt{1\times 2}+\sqrt{2\times 3}+\sqrt{3\times 4}+\ldots +\sqrt{n(n+1)}$，$n∈N^{*}$，求证：$\dfrac{n(n+1)}{2} < {{a}_{n}} < \dfrac{{{(n+1)}^{2}}}{2}$．

难度：较难

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4．
用数学归纳法证明$\left( {1}+\dfrac{{1}}{{3}} \right)\left( {1}+\dfrac{{1}}{{5}} \right)\left( {1}+\dfrac{{1}}{{7}} \right)\ldots \left( {1}+\dfrac{{1}}{{2}n-{1}} \right) > \dfrac{\sqrt{{2}n+{1}}}{{2}}(n∈N^{*}$且$n\geqslant 2)$

难度：难

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5．设$0 < $$a$$\leqslant $$b$$\leqslant $$c$且$abc$$=1.$试求$\dfrac{1}{{a}^{2}(b+c)} $ $%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E%7B3%7D%28b%2Bc%29%7D$

难度：较难

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6．

由函数不等式$e^{x}\geqslant x+1($当且仅当$x=0$时取“$=$”$)$，可得 $($ $)$

A．$\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{n}} > \ln (n+1)$

B．$\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{n}} < \ln (n+1)$

C．$\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{n}}=\ln (n+{1})$

D．与$n$的值有关

难度：易

8．

用反证法证明命题：“若$a$，$b∈N$，$ab$能被$3$整除，那么$a$，$b$中至少有一个能被$3$整除”时，假设应为$($　　$)$

A．$a$，$b$都能被$3$整除

B．$a$，$b$都不能被$3$整除

C．$a$，$b$不都能被$3$整除

D．$a$不能被$3$整除

难度：较易

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