知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

\((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

\((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

难度：较难

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2．用分析法证明：当\(x\geqslant 4\)时，\( \sqrt {x-3}+ \sqrt {x-2} > \sqrt {x-4}+ \sqrt {x-1}\)．

难度：中等

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3．

若\(x\)，\(y > 0\)且\(x+y > 2\)，则\(\dfrac{1+y}{x} \)和\(\dfrac{1+x}{y} \)的值满足( )

A．\(\dfrac{1+y}{x} \)和\(\dfrac{1+x}{y} \)都大于\(2\)

B．\(\dfrac{1+y}{x} \)和\(\dfrac{1+x}{y} \)都小于\(2\)

C．\(\dfrac{1+y}{x} \)和\(\dfrac{1+x}{y} \)中至少有一个小于\(2\)

D．以上说法都不对

难度：较易

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4．
用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于\(60^{\circ}\)”时，应假设 ______ ．

难度：较易

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5．
已知\(x\)，\(y∈R^{+}\)，且\(x+y > 2\)，求证：\( \dfrac {1+x}{y}\)与\( \dfrac {1+y}{x}\)中至少有一个小于\(2\)．

难度：较难

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6．
已知\(a_{n}= \sqrt{1×2}+ \sqrt{2×3}+ \sqrt{3×4}+…+ \sqrt{n(n+1)}(n∈N^{*})\)，求证：\( \dfrac{n(n+1)}{2} < a_{n} < \dfrac{n(n+2)}{2}\)．

难度：较难

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7．
现有\(\dfrac{n\mathrm{(}n{+}1\mathrm{)}}{2}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)个给定的不同的数随机排成一个如图所示的三角形数阵：设\(M_{k}\)是第\(k\)行中的最大数，其中\(1\leqslant k\leqslant n\)，\(k∈N^{*}\)，记\(M_{1} < M_{2} < … < M_{n}\)的概率为\(P_{n}\)．

\((1)\) 求\(P_{2}\)的值\(;\)

\((2)\) 求证：\(P_{n} > \dfrac{C_{n{+}1}^{2}}{\mathrm{(}n{+}1\mathrm{)!}}\)．

难度：较难

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8．
证明：对于\(n∈N^{*}\)，不等式\(|\sin nθ|\leqslant n|\sin θ|\)恒成立．

难度：中等

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9．

已知各项都是正数的数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\({{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}+{1}}{{12}{{a}_{n}}}(n\in {{N}^{{*}}})\)．

\((1)\)用数学归纳法证明：\(a_{2n+1} < a_{2n-1}\)；

\((2)\)证明：\(\dfrac{1}{6}\leqslant {{a}_{n}}\leqslant 1\)．

难度：较难

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10．
．已知数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=a_{n+}\)\({\,\!}_{1}\)\(+n-\)\(2\)，\(n\)\(∈N\)\({\,\!}^{*}\)，\(a\)\({\,\!}_{1}\)\(=\)\(2\)．

\((1)\)证明：数列\(\{\)\(a_{n}-\)\(1\}\)是等比数列，并求数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式\(;\)

\((2)\)设\(b_{n}=\)\( \dfrac{3n}{{S}_{n}-n+1} (\)\(n\)\(∈N\)\({\,\!}^{*}\)\()\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，证明：\(T_{n} < \)\(6\)．

难度：中等

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