知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B是锐角．

难度：较易

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2．若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2．求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ 和 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ 中至少有一个小于2．

难度：较易

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3．求证：若a²+2ab+b²+a+b-2≠0，则a+b≠1．

难度：较易

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4．己知下列三个方程x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．（1）已知x∈R，m=x²-1，n=2x+2．求证：m，n中至少有一个是非负数．
（2）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ -1）（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ -1）（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bc%7D$ -1）≥8．

难度：较易

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6．（1）用分析法证明： $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ $%EF%BC%9E2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ $%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ；
（2）用反证法证明： $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ， $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ， $%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ 不可能成等差数列．

难度：较易

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7．（1）若x，y都是正实数，且x+y＞2，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ ＜2和 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ ＜2中至少有一个成立．
（2）已知a、b、c∈R⁺，求证： $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7B2%7D%2Bb%5E%7B2%7D%2Bc%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%7D$ ≥ $%20%5Cfrac%20%7Ba%2Bb%2Bc%7D%7B3%7D$ ．

难度：较易

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8．（Ⅰ）求证：当a＞2时， $%20%5Csqrt%20%7Ba%2B2%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7Ba-2%7D$ ＜2 $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D$ ；
（Ⅱ）证明：2， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，5不可能是同一个等差数列中的三项．

难度：较易

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9．已知：a，b，c∈（-∞，0），求证：a+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb%7D$ ，b+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bc%7D$ ，c+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ 中至少有一个不大于-2．

难度：较易

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10．用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角．

难度：较难

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