知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．已知x，y，z为正实数，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值此时 x= ，y= ，z= ．

难度：中等

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4．设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，则
a+b+c
x+y+z
= ．

难度：较难

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5．已知实数x，y，z满足：（x-1）²+y²+z²=1，则2x+2y+z的最大值是．

难度：中等

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6．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求变换T的矩阵；
（Ⅱ）圆C：x²+y²=1在变换T的作用下变成了什么图形？
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C₁的极坐标方程为：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直线ℓ的参数方程为：
x=1-
3
t
y=t
（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线ℓ上有一定点P（1，0），曲线C₁与ℓ交于M，N两点，求|PM|．|PN|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
（Ⅰ）求证：a²+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．

难度：较难

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7．设x，y，z∈R且x+2y+3z=1
（I）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；
（II）当x＞0，y＞0，z＞0时，求u=
x2
x+1
+
2y2
y+2
+
3z2
z+3
的最小值．

难度：较难

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8．已知x²+2y²+z²=4则x-2y+2z的最小值为．

难度：中等

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9．（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2
3
，OA=
3
OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵M=
.
1 a
b 1
.
的作用下变换为曲线x²-2y²=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

难度：中等

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10．（不等式选讲选做题）若a、b、c∈R，且a²+2b²+3c²=6，则a+b+c的最小值是．

难度：较难

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