知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b为实数，证明：（a⁴+b⁴）（a²+b²）≥（a³+b³）²．

难度：较难

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2．已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y)2
+
1
(x-y)2
的最小值．

难度：较难

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3．已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求
a+1
+
b+1
+
c+1
的最大值．

难度：较难

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4．设
a
=(1，1，-2)，
b
=(x，y，z)，若x²+y²+z²=16，则
a
•
b
的最大值为．

难度：中等

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5．（选修4-5：不等式选讲）
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，试求a的最值．

难度：较难

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6．若不等式|a-1|≥x+2y+2z对满足x²+y²+z²=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．

难度：较难

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7．已知实数a、b、c满足a+2b+c=1，a²+b²+c²=1，求c的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|
（1）设S=（x+y-3）²+（1-x）²+（6-2y-x）²，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜
5
6
成立．

难度：较难

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9．已知正实数x，y，z满足x²+y²+z²=8，设M=
x4
9
+
y4
16
+
z4
25
，当x、y、z为何值时，M取得最小值？并求出M的最小值．

难度：较难

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10．若不等式|a-1|≥
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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