知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用数学归纳法证明：-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6．
（1）计算a₁、a₃、a₄，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法；
（2）设b_n=a_n+n（n∈N^* ），求
lim
n→∞
（
1
b2-2
+
1
b3-2
+
1
b4-2
+…+
1
bn-2
）的值．

难度：中等

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3．用数学归纳法证明：
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)
＜
n
（n∈N^*）．

难度：中等

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4．比较2ⁿ与2n+1的大小并证明．

难度：较易

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5．已知a_n=n+2，从无穷数列{a_n}中抽取部分项a k1，a k2，…a k3，…组成一个等比数列{b_n}，其中1=k₁＜k₂＜k₃＜…＜k_n＜k_n+1＜…，（n∈N^*），k_n∈N^*，记这个等比数列的公比为q．
（1）求证：q∈N^*，q≥2；
（2）求证：
qn-1
q-1
（n∈N^*）是正整数；
（3）设数列{a_n}的前n项的和为S_n，若存在n∈N^*，使S_n≥qⁿ成立，求q的所有可能取值，并证明你的结论．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}中，a₁=1，2a₁，S_n+1，S_n成等差数列．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想通项S_n，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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7．在各项均为正的数列{a_n}中，a₁=
1
2
，（4n-2）a_n+1=（2n+1）a_n，猜想{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明猜想．

难度：中等

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8．依次计算数列：（1-
1
4
），（1-
1
4
）（1-
1
9
），（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
），（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）（1-
1
25
），…的前4项的值，由此猜想（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）（1-
1
25
）…（1-
1
(n+1)2
）（n∈N^*）的结果，并用数字归纳法加以证明．

难度：中等

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9．是否存在常数a，b，使等式
12
1×3
+
22
3×5
+…+
n2
(2n-1)(2n+1)
=
an2+n
bn+2
对于一切n∈N^*都成立？若存在，用数学归纳法证明之，若不存在，说明理由．

难度：中等

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10．用数学归纳法证明：
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1
＞
25
24
（n∈N₊）

难度：中等

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