知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．当n∈N^*时，S_n=1+2+3+…+（n+3），T_n=
(n+3)(n+4)
2
．
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的数量关系，并用数学归纳法证明．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．（2016春•海淀区期中）已知函数f（x）=
1
x
（x＞0），对于正数x₁，x₂，…，x_n（n∈N₊），记S_n=x₁+x₂+…+x_n，如图，由点（0，0），（x_i，0），（x_i，f（x_i）），（0，f（x_i））构成的矩形的周长为C_i（i=1，2，…，n），都满足C_i=4S_i（i=1，2，…，n）．
（Ⅰ）求x₁；
（Ⅱ）猜想x_n的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．定义
.
abc
是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把
.
abc
的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为
.
a1b1c1
，对于n＞1且n∈N，
.
anbncn
=f(
.
an-1bn-1cn-1
)，将
.
anbncn
的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d_n
（Ⅰ）当
.
abc
=636时，求
.
a1b1c1
，
.
a2b2c2
及d₂的值；
（Ⅱ）若d₁=6，求证：当n＞1时，d_n=5；
（Ⅲ）求证：对任意三位数
.
abc
，n≥6时，
.
anbncn
=495．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）²，从n=k到n=k+1，等号左边需增加的代数式为．

难度：中等

解析收藏试题篮
5． n²（n≥4，n∈N^*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=
a11 a12 a13a14…a1n
a21 a22 a23a24…a2n
a31 a32 a33a34…a3n
… … …
an1 an2 an3an4…ann
，其中a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₂=6，a₃₃=16．
（Ⅰ）求a₁₁和a_ij．
（Ⅱ）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1．
①求A_n；
②证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．

难度：中等

解析收藏试题篮
6．已知数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=-
1
2
，Sn=-
1
Sn-1+2
(n≥2)
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并证明你的结论．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+2a_n+1-9a_na_n+1=1（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由此猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法给出证明．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．已知f（n）=n²+n（n∈N₊），g（n）=2ⁿ（n∈N₊），试判断并证明f（n）与g（n）的大小关系．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．利用数学归纳法证明不等式：
1
2
×
3
4
×…×
2n-1
2n
＜
1
2n+1
（n∈N^*）

难度：中等

解析收藏试题篮
10．用数学归纳法证明：f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
（n∈N^*）的过程中，从n=k到n=k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了项．

难度：较易

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷