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          共50条信息

            • 1． 已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
              （1）求实数m的值；
              （2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=
              f(b)-f(a)
              b-a
              ．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=
              f(x1)-f(x2)
              x1-x2
              (x-x1)+f(x1)              ，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
              （3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
              难度：较难
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            • 2． 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Sn=（n+1）an（n∈N*）．
              （1）求a2，a3，a4的值；
              （2）猜想an的表达式，并加以证明．
              难度：较难
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            • 3． 数列{bn}满足b1=1，bn+1=
              bn
              1+2bn

              （1）求b2、b3、b4并猜想数列{bn}的通项公式；
              （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
              （3）设cn=bnbn+1，求数列{cn} 的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 4． 数列{an}满足an+1=
              2an-9
              an-4
              (n∈N+)              ，且a1=2．
              （1）写出a2，a3，a4的值；
              （2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
              （3）设bn=(an+1-3)(an-3)(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 5． 已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（a∈R）．
              （Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
              （Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
              x≥0
              x-y≥0
              ，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
              （Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=
              1
              2
              时，[g（x）]n-g（xn）≥2n-2（n∈N+）．
              难度：较难
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            • 6． 数列{an}满足a1=
              1
              2
              ，an+1=
              1
              2-an
              （n∈N*）．
              （I）求数列{an}的通项公式；
              （II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
              n+2
              2
              ；
              （III）证明：
              n
              2
              -(
              a12
              a1+a2
              +
              a22
              a2+a3
              +…+
              an2
              an+a1
              )＜ln
              		n+1
              ．
              难度：较难
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            • 7． 设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，
              Sn
              n
              )              都在函数f(x)=x+
              an
              2x
              的图象上．
              （Ⅰ）求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并证明；
              （Ⅱ）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；（直接写出结果）
              难度：中等
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            • 8． 已知f′（x）是函数f（x）=ln（1+x）的导函数，设g（x）=xf′（x），x≥0．
              （1）证明：f（x）≥g（x）；
              （2）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，归纳并用数学归纳法证明gn（x）的表达式．
              难度：中等
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