知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知数列{a_n}满足：a₁=a，an+1=
1
2-an

（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想出a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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3．设数列{a_n}的前n和为S_n，满足S_n=a_n+1+n²-3，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

难度：较难

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4．用数学归纳法证明2+3+4+…+n=
(n-1)(n+2)
2
时，第一步取n= ．

难度：较易

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5．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，U_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求U_l，U₂，U₃的值．
（2）求证：U_n+1＞U_n．

难度：中等

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6．（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

难度：较难

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7．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）数列{a_n}猜想出数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

难度：中等

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8．设f（1）=2，f（n）＞0（n∈N₊），且f（n₁+n₂）=f（n₁）f（n₂）
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）猜想f（n）的解析式；
（3）证明你的猜想．

难度：较难

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9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）计算S₁、S₂，猜想数列{S_n}的通项公式，并用数学归纳法予以证明．

难度：较难

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10．数学归纳法证明 1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
＞
n
2
（n∈N^*）

难度：中等

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