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          共50条信息

            • 1． 已知m，n为正整数．
              （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）m≥1+mx；
              （Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；
              （Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
              难度：难
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            • 2．

              已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式\({{a}_{n}}=\dfrac{4}{{{(2n-1)}^{2}}}\)，数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的通项满足\({{b}_{n}}=(1-{{a}_{1}})(1-{{a}_{2}})\cdots (1-{{a}_{n}})\)，

              \((1)\)求：\({{b}_{1}}\)、\({{b}_{2}}\)、\({{b}_{3}}\)并猜想\({{b}_{n}}\)；

              \((2)\)用数学归纳法证明猜想．

              难度：中等
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            • 3．

              用数学归纳法证明“\(2^{n} > n^{2}+1\)对于\(n\geqslant n_{0}\)的正整数\(n\)都成立”时，第一步证明\(n\)的起始值\(n_{0}\)应取________．

              难度：较易
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            • 4．

              用数学归纳法证明：\(1+\dfrac{n}{2}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}+n,(n\in {{N}^{*}})\)。

              难度：难
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            • 5．

              用数学归纳法证明“\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}-1} < n\) ”时，由\(n=k(k > 1)\)不等式成立，推证\(n=k+1\)时，左边应增加的项数是\((\)    \()\)

              A．\({{2}^{k-1}}\)
              B．\({{2}^{k}}-1\)
              C．\({{2}^{k}}\)
              D．\({{2}^{k}}+1\)
              难度：较易
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            • 6．

              观察下列等式

              \(1 > \dfrac{1}{2} \)

              \(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3} > 1 \)
              \(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{7} > \dfrac{3}{2} \)
              \(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{15} > 2 \)
              \(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+...+ \dfrac{1}{31} > \dfrac{5}{2} \)

              \((1)\)从上述不等式归纳出一个与正整数\(n\)有关的一般不等式；

              \((2)\)证明你归纳得到的不等式．

              难度：难
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            • 7． 若\(f(n)=1+ \dfrac {1}{ \sqrt {2}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {3}}+…+ \dfrac {1}{ \sqrt {n}}\)，\(n∈N\)，当\(n\geqslant 3\)时，证明：\(f(n) > \sqrt {n+1}\)．
              难度：易
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            • 8．

              用数学归纳法证明不等式\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{4}+…+ \dfrac{1}{2^{n-1}} > \dfrac{127}{64}(n∈N^{*})\)成立，\(n\)的初始值至少应取\((\)　　\()\)

              A．\(7\) 
              B．\(8\) 
              C．\(9\) 
              D．\(10\)
              难度：中等
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