上一个\(n\)层的台阶，若每次可上\(1\)层或\(2\)层，设所有不同的上法的总数为\(f(n)\)，则下列猜想中正确的是(    )

用数学归纳法证明“对一切\(n∈N_{+}\)，都有\(2^{n} > n^{2}-2\)”这一命题，证明过程中应该验证的归纳奠基为\((\)    \()\)

\((2)\)设\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，用数学归纳法证明：\({{S}_{n}} < \dfrac{1}{2}{{(n+1)}^{2}}\)．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)和为\({{S}_{n}}\)，且满足\({{S}_{2}}=3,\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}2{{S}_{n}}=n+n{{a}_{n}},\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}n\in {{N}^{*}}\)

\((1)\)求\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\)，并求出数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}+1}}-1\)，证明：\(\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}+\dfrac{{{b}_{2}}}{{{b}_{3}}}+\cdots +\dfrac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n+1}}} < \dfrac{n}{2}(n\in {{N}^{*}})\)

已知函数\(f(x)=ax- \dfrac{b}{x}-2\ln x\)，\(f(1)=0\)．

\((1)\)若函数\(f(x)\)在其定义域内为单调函数，求实数\(a\)的取值范围？

\((2)\)若函数\(f(x)\)的图像在\(x=1\)处的切线的斜率为\(0\)，且\(a_{n+1}=f′\left( \left. \dfrac{1}{a_{n}+1} \right. \right)-na_{n}+1\)，若\(a_{1}\geqslant 3\)，求证：\(a_{n}\geqslant n+2\)．

用数学归纳法证明不等式\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{4}+…+ \dfrac{1}{2^{n-1}} > \dfrac{127}{64}(n∈N^{*})\)成立，其初始值至少应取\((\)　　\()\)

用数学归纳法证明不等式\( \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+…+ \dfrac{1}{2n} > \dfrac{11}{24}(n∈N^{*})\)的过程中，由\(n=k\)递推到\(n=k+1\)时，下列说法正确       \((\)　　\()\)

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，通项公式为\(a_{n}= \dfrac{1}{n}\)，且\(f(n)=\left\{\begin{matrix}S_{2n},n=1, \\ S_{2n}-S_{n-1},n\geqslant 2.\end{matrix}\right(\quad \quad)\)

\((1)\)计算\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)的值；

\((2)\)比较\(f(n)\)与\(1\)的大小，并用数学归纳法证明你的结论．