知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞
n+1
．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}是等差数列，（1+
x
2
）^m（m∈N^*）展开式的前三项的系数分别为a₁，a₂，a₃．
（1）求（1+
x
2
）^m（m∈N^*）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）当n≥2（n∈N^*）时，试猜测
1
an
+
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
an2
与
1
3
的大小并证明．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＜
1
2
时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N₊，且n≥2，证明：不等式
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＞
3
4
-
2n+1
2n(n+1)
．

难度：中等

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4．设函数f(x)=
x-1
x
log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R⁺，且
1
m
+
1
t
=1，求证：tlo
g

2
m+mlo
g

2
t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
a2n
=1，求证：
lo
g

2
a1
a1
+
lo
g

2
a2
a2
+
lo
g

2
a3
a3
+…+
lo
g

2
a2n
a2n
≤n．

难度：较难

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5．已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+
an
1+an
(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

难度：难

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6．已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-
1
2
＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求f（x）在[-
1
2
，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-
1
2
＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

难度：中等

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7．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bn+1
bn
＞
n+1
成立．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}满足a1=3，
2-2an+1
an+1-3
=an(n∈N*)，记bn=
an-2
an+1
．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn=
3
an+1
，求证：c1•c2•c3…cn＞
7
12
．

难度：较难

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9．在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求证：对任意的n∈N^*，
bn-cn
an-12
≥0．

难度：较难

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10．用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有
1
12
+
1
22
+
1
32
…
1
n2
＜2-
1
n
成立．

难度：中等

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