在棱长为\(1\)的正方体\({A} {B} {CD}-{{{A} }_{1}}{{{B} }_{1}}{{{C}}_{1}}{{{D}}_{1}}\)中，\(\text{M} \)是\({{{A} }_{1}}{{{D}}_{1}}\)的中点，点\({R} \)在侧面\({B} {C}{{{C}}_{1}}{{{B} }_{1}}\) 上运动\(.\)现有下列命题：

\(①\)若点\({R} \)总保持\({R} {A} \bot {B} {{{D}}_{1}}\)，则动点\({R} \)的轨迹所在的曲线是直线；

\(②\)若点\({R} \)到点\({A} \)的距离为\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，则动点\({R} \)的轨迹所在的曲线是圆；

\(③\)若\({R} \)满足\(\angle \text{M} {A} {R} =\angle \text{M} {A} {{{C}}_{1}}\)，则动点\({R} \)的轨迹所在的曲线是椭圆；

\(④\)若\({R} \)到直线\({B} {C}\)与直线\({{{C}}_{1}}{{{D}}_{1}}\)的距离比为\(2:1\)，则动点\({R} \)的轨迹所在的曲线是双曲线；

其中真命题的序号为_________________        

已知\(A\)，\(B\)是球\(O\)的球面上两点，\(∠AOB=90^{\circ}\)，\(C\)为该球面上的动点，若三棱锥\(O-ABC\)的体积的最大值为\(36\)，则球\(O\)的表面积为 (    )

如图，在半径为\(3\)的球面上有\(A\)，\(B\)，\(C\)三点，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(BA=BC\)，球心\(O\)到平面\(ABC\)的距离是\( \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} \)，则\(B\)，\(C\)两点的球面距离是\((\)   \()\)

平面\(α\)截半径为\(2\)的球\(O\)所得的截面圆的面积为\(π\)，则球心到\(O\)平面\(α\)的距离为     ．

\((1)\) 在区间\({[}0{,}4{]}\)上随机取一个数\(x\)，则事件“\({-}1{\leqslant }\log_{\frac{1}{2}}(x{+}\dfrac{1}{2}){\leqslant }1\)”发生的概率为______ ．

\((2)A{,}B{,}C{,}D\)是同一球面上的四个点，\({\triangle }ABC\)中，\({∠}BAC{=}\dfrac{2\pi}{3}{,}AB{=}AC{,}AD{⊥}\)平面\({ABC}{,}AD{=}6{,}AB{=}2\sqrt{3}\)，则该球的表面积为______ ．

\((3)\) 已知函数\(f(x){=}\dfrac{1}{x{+}1}\)，点\(O\)为坐标原点，点\(A_{n}(n{,}f(n))(n{∈}N^{{*}})\)，向量\(\overrightarrow{i}{=}(0{,}1){,}\theta_{n}\)是向量\(\overrightarrow{OA_{n}}\)与\(\overrightarrow{i}\)的夹角，则\(\dfrac{\cos\theta_{1}}{\sin\theta_{1}}{+}\dfrac{\cos\theta_{2}}{\sin\theta_{2}}{+…+}\dfrac{\cos\theta_{2017}}{\sin\theta_{2017}}\)的值为______ ．

\((4)\)在四边形\(ABCD\)中，若\(AB{=}2{,}BC{=}2\sqrt{2}{,}AD{=}\sqrt{2}{CD}{,}\overrightarrow{{AC}}\overrightarrow{{⋅}CD}{=}0\)，则\({|}\overrightarrow{{BD}}{|}\)的最大值为______ ．

已知球\(O\)的半径为\(R\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)三点在球\(O\)的球面上，球心\(O\)到平面\(ABC\)的距离为\(\dfrac{\sqrt{3}R}{2},\)，\(AB=AC=BC-2 \sqrt{3} \)，则球\(O\)的表面积为_________．

平面\(α\)截半径为\(2\)的球\(O\)所得的截面圆的面积为\(π\)，则球心到\(O\)平面\(α\)的距离为     ．