在菱形\(ABCD\)中，\(A=60^{\circ}\)，\(AB=\sqrt{3}\)，将\(\triangle ABD\)折起到\(\triangle PBD\)的位置，若二面角\(P-BD-C\)的大小为\(90^{\circ}\)，则三棱锥\(P-BCD\)的外接球的表面积为\((\)    \()\)

\((1)\) 曲线\(y=x(3\ln x+1)\)在点\((1,1)\)处的切线方程为_________．

\((2)\)已知两个单位向量\(a\)，\(b\)的夹角为\(60^{\circ}\)，\(c=ta+(1-t)b.\)若\(b·c=0\)，则\(t=\)______．

\((3)\)已知\(\theta \)是第四象限角，且\(\,\sin \left( \theta +\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4} \right)=\dfrac{3}{5}\)，则\(\tan \left( \theta -\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4} \right)=\)__________．

\((4)\)已知圆\(O\)和圆\(K\)是球\(O\)的大圆和小圆，其公共弦长等于球\(O\)的半径，\(OK=\dfrac{3}{2}\)，且圆\(O\)与圆\(K\)所在的平面所成的一个二面角为\(60^{\circ}\)，则球\(O\)的表面积等于________．

已知球\(O\)是的棱长为\(1\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的内切球，则平面\(ACD_{1}\)截球\(O\)的截面面积为               

已知\(Rt\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(\triangle ABC\)三个顶点都在半径为\(2\)的球面上，球心\(O\)到平面\(ABC\)的距离为\(1\)，点\(E\)是线段\(AB\)的中点，过点\(E\)作球\(O\)的截面，则截面面积的最小值是________．

\((1)\)抛物线\(y^{2}=ax(a > 0)\)上的点\(P(\dfrac{3}{2},y_{0})\)到焦点\(F\)的距离为\(2\)，则\(a=\)________．

\((2)\)已知递减等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=1\)，\(a_{4}\)为\(a_{3}\)，\(a_{4}+6\)等比中项，若\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，则\(S_{7}\)的值为________．

\((3)\)在四面体\(S-ABC\)中，\(AB⊥BC\)，\(AB=BC=\sqrt{2}\)，\(SA=SC=2\)，二面角\(S-AC-B\)的余弦值是\(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则该四面体外接球的表面积是________．

\((4)\)设函数\(f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{x}\)，\(g(x)=\dfrac{x}{{{e}^{x}}}\)，对任意\(x_{1}\)，\(x_{2}∈(0,+∞)\)，不等式\(\dfrac{g({{x}_{1}})}{k}\leqslant \dfrac{f({{x}_{2}})}{k+1}\)恒成立，则正数\(k\)的取值范围是________．