知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，点\(E\)在线段\(PA\)上，\(PC/\!/\)平面\(BDE\)．
\((1)\)求证：\(AE=PE\)；
\((2)\)若\(\triangle PAD\)是等边三角形，\(AB=2AD\)，平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)，四棱锥\(P-ABCD\)的体积为\(9 \sqrt {3}\)，求点\(E\)到平面\(PCD\)的距离．

难度：较易

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2．

已知直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的侧棱长为\(6\)，且底面是边长为\(2\)的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱\(AA_{1}\)，\(BB_{1}\)，\(CC_{1}\)，分别交于三点\(M\)，\(N\)，\(Q\)，若\(\triangle MNQ\)为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为\((\)　　\()\)

A．\(2 \sqrt {2}\)

B．\(3\)

C．\(2 \sqrt {3}\)

D．\(4\)

难度：较易

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3．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(\triangle ADP\)是等边三角形，\(AB=AP=2\)，\(BP=3\)，\(A⊥BP\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(BC\)的长度；
\((\)Ⅱ\()\)求直线\(BC\)与平面\(ADP\)所成的角的正弦值．

难度：较易

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4．
在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PB⊥AC\)，\(PB=9\)，\(AC=6\)，\(G\)为\(\triangle PAC\)的重心，过点\(G\)作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线\(PB\)和\(AC\)，则截面的面积为 ______ ．

难度：难

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5．

如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
\(①AF⊥GC\)；
\(②BD\)与\(GC\)成异面直线且夹角为\(60^{\circ}\)；
\(③BD/\!/MN\)；
\(④BG\)与平面\(ABCD\)所成的角为\(45^{\circ}\)．
其中正确的个数是\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\(2\)

C．\(3\)

D．\(4\)

难度：中等

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6．

在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，给出下列四个推断：
\(①A_{1}C_{1}⊥AD_{1}\)
\(②A_{1}C_{1}⊥BD\)
\(③\)平面\(A_{1}C_{1}B/\!/\)平面\(ACD_{1}\)
\(④\)平面\(A_{1}C_{1}B⊥\)平面\(BB_{1}D_{1}D\)
其中正确的推断有\((\)　　\()\)

A．\(1\)个

B．\(2\)个

C．\(3\)个

D．\(4\)个

难度：较易

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7．

设正三棱锥\(P-ABC\)的高为\(H\)，且此棱锥的内切球的半径\(R= \dfrac {1}{7}H\)，则\( \dfrac {H^{2}}{PA^{2}}=(\)　　\()\)

A．\( \dfrac {29}{39}\)

B．\( \dfrac {32}{39}\)

C．\( \dfrac {34}{39}\)

D．\( \dfrac {35}{39}\)

难度：较易

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8．
一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为\(2\)的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ______ ．

难度：易

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9．
一个棱长为\(5\)的正四面体\((\)棱长都相等的三棱锥\()\)纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为 ______ ．

难度：较易

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10．
如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)，点\(A_{1}\)在平面\(ABC\)内的射影\(D\)在\(AC\)上，\(E\)是\(B_{1}C_{1}\)的中点\(∠BAC=∠CAA_{1}=60^{\circ}\)，且\(AB=AC=AA_{1}\)．
\((I)\)求证：\(DE/\!/\)平面\(AA_{1}B_{1}B\)；
\((\)Ⅱ\()\)求证：\(B_{1}C⊥A_{1}\)B.

难度：较易

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