知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

按照国家环保部发布的新修订的\(《\)环境空气质量标准\(》\)，规定：\(PM2.5\)的年平均浓度不得超过\(35\)微克\(/\)立方米，国家环保部门在\(2016\)年\(10\)月\(1\)日到\(2017\)年\(1\)月\(30\)日这\(120\)天对全国的\(PM2.5\)平均浓度的监测数据统计如下：

组别	\(PM2.5\)浓度\((\)微克\(/\)立方米\()\)	频数\((\)天\()\)
第一组	\((0,35]\)	\(32\)
第二组	\((35,75]\)	\(64\)
第三组	\((75,115]\)	\(16\)
第四组	\(115\)以上	\(8\)

\((1)\)在这\(120\)天中抽取\(30\)天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天\(?\)

\((2)\)在\((1)\)中所抽取的样本\(PM2.5\)的平均浓度超过\(75(\)微克\(/\)立方米\()\)的若干天中，随机抽取\(2\)天，求恰好有一天平均浓度超过\(115(\)微克\(/\)立方米\()\)的概率．

难度：较易

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2．

某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表\((\)假设该区域空气质量指数不会超过\(300)\)：

空气质量指数	\((0,50]\)	\((50,100]\)	\((100,150]\)	\((150,200]\)	\((200,250]\)	\((250,300]\)
空气质量等级	\(1\)级优	\(2\)级良	\(3\)级轻度污染	\(4\)级中度污染	\(5\)级重度污染	\(6\)级严重污染

该社团将该校区在\(2016\)年\(100\)天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．

\((1)\)请估算\(2017\)年\((\)以\(365\)天计算\()\)全年空气质量优良的天数\((\)未满一天按一天计算\()\)；

\((2)\)用分层抽样的方法共抽取\(10\)天，则空气质量指数在\((0,50]\)，\((50,100]\)，\((100,150]\)的天数中各应抽取几天？

\((3)\)已知空气质量等级为\(1\)级时不需要净化空气，空气质量等级为\(2\)级时每天需净化空气的费用为\(2000\)元，空气质量等级为\(3\)级时每天需净化空气的费用为\(4000\)元\(.\)若在\((\)Ⅱ\()\)的条件下，从空气质量指数在\((0,150]\)的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为\(4000\)元的概率．

难度：较易

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3．

在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为\(1:3\)，且成绩分布在\([40,100]\)，分数在\(80\)以上\((\)含\(80)\)的同学获奖\(.\)按文理科用分层抽样的方法抽取\(200\)人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图\((\)见下图\()\)．

\((I)\)在答题卡上填写下面的\(2×2\)列联表，能否有超过\(95\%\)的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

文科生

理科生

合计

获奖

\(5\)

不获奖

合计

\(200\)

\((II)\)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取\(3\)名学生，记“获奖”学生人数为\(X\)，求\(X\)的分布列及数学期望．

附表及公式：\({K}^{2}= \dfrac{n{\left(ad-bc\right)}^{2}}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)} \)，其中\(n=a+b+c+d \)

难度：难

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4．

近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的\(60\)人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：

	患三高疾病	不患三高疾病	合计
男		\(6\)	\(30\)
女
合计	\(36\)

\((1)\)请将上表的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽\(9\)人，其中女性抽多少人？

\((2)\)为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量\({{K}^{2}}\)，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：

\(P\left({K}^{2}\geqslant k\right) \)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

\((\)参考公式\({{K}^{2}}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^{2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d)\)

难度：易

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5．

国内某知名大学有男生\(14000\)人，女生\(10000\)人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取\(120\)人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：\((\)平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是\([0,3]).\)

男生平均每天运动时间分布情况：

女生平均每天运动时间分布情况：

\((1)\)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间\((\)结果精确到\(0.1)\)；

\((2)\)若规定平均每天运动的时间不少于\(2\)小时的学生为“运动达人”，低于\(2\)小时的学生为“非运动达人”．

\(①\)请根据样本估算该校“运动达人”的数量；

\(②\)请根据上述表格中的统计数据填写下面\(2\times 2\)列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过\(0.05\)的前提下认为“是否为\(‘\)运动达人\(’\)与性别有关？”

参考公式：\({{k}^{2}}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^{2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d\)．

参考数据：

\(P({{K}^{2}}\geqslant {{k}_{0}})\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\({{k}_{0}}\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

难度：中等

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6．

某地区有\(100\)名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示\(.\)其中成绩分组区间是：第\(1\)组：\([75,80) \)，第\(2\)组：\([80,85) \)，第\(3\)组：\([85,90) \)，第\(4\)组：\([90,95) \)，第\(5\)组：\(\left[95,100\right] \)．

\((\)Ⅰ\()\)求图中\(a\)的值，并估计此次考试成绩的中位数；

\((\)Ⅱ\()\)在第\(2\)，\(4\)小组中用分层抽样的方法抽取\(5\)人，再从这\(5\)人中随机选取\(2\)人进行面试，求至少有一人来自第\(2\)小组的概率．

难度：较易

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7．
某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査\(100\) 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．

\((1)\)利用所给的频率分布直方图估计使用者年龄的中位数与平均数；

\((2)\)若已从年龄在\(\left[ 35,45 \right),\left[ 45,55 \right]\)的使用者中利用分层抽样选取了\(6\)人，再从这\(6\)人中选出\(2\)人，求这\(2\)人在不同的年龄组的概率．

难度：较易

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8．北京大学在\(2018\)年的保送招生考试成绩中随机抽取某学校高三年级\(40\)名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第\(1\)组\(\left[ 75,80 \right)\)，第\(2\)组\(\left[ 80,85 \right)\)，第\(3\)组\([85,90) \)，第\(4\)组\([90,95) \)，第\(5\)组\([95,100) \)，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在\(85\)分以上\((\)含\(85\)分\()\)的学生为“优秀”，成绩小于\(85\)分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得复试资格．

\((1)\)求出第\(4\)组的频率，补全频率分布直方图；

\((2)\)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数\((\)结果用四舍五入法精确到\(1\)分\()\)；

\((3)\)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中选出\(5\)人，再从这\(5\)人中选\(2\)人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

难度：较易

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9．
有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于\(90\)分为优秀，\(90\)分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表：

优秀

非优秀

总计

甲班

\(10\)

乙班

\(30\)

合计

\(100\)

已知在全部\(100\)人中随机抽取\(1\)人为优秀的概率为\(\dfrac{3}{10}\)．

\((1)\)请完成上面的列联表；

\((2)\)根据列联表的数据，请判断有多大的把握认为“成绩与班级有关系”？

\((3)\)按分层抽样的方法，从优秀学生中抽出\(6\)名组成一个样本，再从样本中抽出\(2\)名学生，求恰好有\(1\)名学生在甲班的概率．

参考公式：

\(P(K^{2}\geqslant k)\)

\(0.15\)

\(0.10\)

\(0.05\)

\(0.025\)

\(0.010\)

\(0.005\)

\(0.001\)

\(k\)

\(2.072\)

\(2.706\)

\(3.841\)

\(5.024\)

\(6.635\)

\(7.879\)

\(10.828\)

\(({{K}^{2}}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^{2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d)\)

难度：较易

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10．
我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分\(100\)，\(200\)，\(300\)，\(400\)，\(500\)，\(600\)，\(700\)，\(800\)，\(900\)，\(1000(\)单位元\()\)十个档次，某社区随机抽取了\(50\)名村民，按缴费在\(100～500\)元，\(600～1000\)元，以及年龄在\(20～39\)岁，\(40～59\)岁之间进行了统计，相关数据如下：

\((\)Ⅰ\()\)用分层抽样的方法在缴费\(100～500\)元之间的村民中随机抽取\(5\)人，则年龄在\(20～39\)岁之间应抽取几人？

\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下抽取的\(5\)人中，随机选取\(2\)人进行到户走访，求这\(2\)人的年龄都在\(40～59\)岁之间的概率。

\((\)Ⅲ\()\)能否有\(95\%\)的把握认为缴费的档次与年龄有关？

\({K}^{2}= \dfrac{n(ad-bc{)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \)

难度：中等

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0/40

进入组卷

	文科生	理科生	合计
获奖	\(5\)
不获奖
合计			\(200\)

\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	优秀	非优秀	总计
甲班	\(10\)
乙班		\(30\)
合计			\(100\)