知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3-5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过 $%28%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29$ ；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（　　）

B．1

C．2

D．3

难度：较易

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2．我国从2016年1月1日起统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：
生二胎不生二胎合计
70后 30 15 45
80后 45 10 55
合计 75 25 100
（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且视频率为概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望和方差；
（2）根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
参考公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

难度：较易

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3．一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，如表为抽样试验结果：
转速x（转/秒） 16 14 12 8
每小时生产有
缺点的零件数y（件） 11 9 8 5
（1）用相关系数r对变量y与x进行相关性检验；
（2）如果y与x有线性相关关系，求线性回归方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？（结果保留整数）
参考数据： $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B4%7D$ x_iy_i=438，t=m²-1， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B4%7D$ y_i²=291， $%20%5Csqrt%20%7B656.25%7D$ ≈25.62．
参考公式：相关系数计算公式：r= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%5Ccdot%20%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7D$
回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

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4．某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）设y关于t的线性回归方程为y=bt+a，求b，a的值；
（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．
（参考公式：b= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28t_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28t_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ，a= $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ -b $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D$ ）

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5．随着我国经济的发展，居民的储蓄款逐年增长，设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
（1）取y关于t的回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ t+a；
（2）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．

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6．下列是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据： $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B7%7D$ y_i=9.32， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B7%7D$ t_iy_i=40.17
回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ t中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28t_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28t_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dt_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dt_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bt%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bt%7D$ ．

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7．某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：
其中一个数字被污损．
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅．现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）
年龄x（岁） 20 30 40 50
周均学习成语知识时间y（小时） 2.5 3 4 4.5
由表中数据，试求线性回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ ，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间．
参考公式： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-nx%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x．

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8．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产的零件中有缺点的零件数随机器运转的速度而变化，如表为抽样数据：
转速x（转/秒） 16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数y（件） 11 9 8 5
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）根据散点图判断，y=ax+b与 $y%3Dc%20%5Csqrt%20%7Bx%7D%2Bd$ 哪一个适宜作为每小时生产的零件中有缺点的零件数y关于转速x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）若实际生产中，允许每小时生产的零件中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
（参考公式： $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7Bb%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7Ba%7D%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-%20%5Coverset%7B%5Chat%20%7D%7Bb%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．）

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9．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：
A组 B组合计
男性 26 24 50
女性 30 20 50
合计 56 44 100
（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？
（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；
（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，求“这3人中既有A组又有B组”的概率．
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d为样本容量．
参考数据：
P（K²≥k₀） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
$%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D0$ 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635

难度：较易

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10．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间的关系，下表记录了小李某月连续5天每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出投篮命中率y与打篮球时间x（单位：小时）之间的回归直线方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ ），
（II）如果小李某天打了2.5小时篮球，预测小李当天的投篮命中率．
（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）

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	生二胎	不生二胎	合计
70后	30	15	45
80后	45	10	55
合计	75	25	100

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

转速x（转/秒）	16	14	12	8
每小时生产有缺点的零件数y（件）	11	9	8	5

年龄x（岁）	20	30	40	50
周均学习成语知识时间y（小时）	2.5	3	4	4.5

转速x（转/秒）	16	14	12	8
每小时生产有缺点的零件数y（件）	11	9	8	5

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
$%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D0$	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

	A组	B组	合计
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合计	56	44	100

时间x	1	2	3	4	5
命中率y	0.4	0.5	0.6	0.6	0.4