知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？
参考公式：b= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi-1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7B1%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%29%7D%28y_%7B1%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%29%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi-1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7B1%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi-1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi-1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7B1%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B-2%7D%7Bx%7D%7D$ ．

难度：难

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3．以模型y=ce^kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是 ______ 和 ______ ．

难度：难

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4．一本新出版的数学活动课教材在某书店销售，按事先拟定的价格进行5天试销，每种进价试销1天，得到如下数据：
单价x（元） 18 19 20 21 22
销量y（册） 61 56 50 48 45
（Ⅰ）若y与x线性相关，且回归直线方程为y=mx+132，求实数m的值；
（Ⅱ）预计以后的销售中，销量与单价服从（Ⅰ）中的回归直线方程，若每本数学活动课教材的成本是14元，为了获得最大利润，该教材的单价应为多少元？

难度：难

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5．如表是某厂1-4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份x 1 2 3 4
用水量 4.5 4 3 2.5
由散点可知，用水量y与月份x之间由较好的线性相关关系，其线性回归方程是 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ =0.7x+a，则a等于 ______ ．

难度：难

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6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
x 3 4 5 6 7
y 2.5 3 4 4.5 6
（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
附： $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ，a= $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

难度：难

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7．为确定加工某零件的时间，某工人做了四次实验，得到的数据的散点图如图所示．
（1）求出y关于x的线性回归方程 $%20%5Chat%20y%3D%20%5Chat%20bx%2B%20%5Chat%20a$ ，并在坐标系中画出回归直线；
（2）试预测加工8个零件需要多少时间（精确到十分位）．
参考公式： $%20%5Chat%20b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-%20%5Chat%20b%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

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8． 30岁以后，随着年龄的增长，人们的身体机能在逐渐退化，所以打针买保健品这样的“健康消费”会越来越多，现对某地区不同年龄段的一些人进行了调查，得到其一年内平均“健康消费”如表：
年龄（岁） 30 35 40 45 50
健康消费（百元） 5 8 10 14 18
（1）求“健康消费”y关于年龄x的线性回归方程；
（2）由（1）所得方程，估计该地区的人在60岁时的平均“健康消费”．
（附：线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ 中， $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ，其中 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ 为样本平均值）

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9．中华龙鸟是生存于距今约1.4亿年的早白垩世现已灭绝的动物，在一次考古活动中，考古学家发现了中华龙鸟的化石标本共5个，考古学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度，得到如下表的数据：
股骨长度x/cm 38 56 59 64 73
肱骨长度y/cm 41 63 70 72 84
若由资料可知肱骨长度y与股骨长度x呈线性相关关系．
（1）求y与x的线性回归方程y= $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ （ $%20%5Chat%20a$ ， $%20%5Chat%20b$ 精确到0.01）；
（2）若某个中华龙鸟的化石只保留有股骨，现测得其长度为37cm，根据（1）的结论推测该中华龙鸟的肱骨长度（精确到1cm）．
（参考公式和数据：b= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ，a= $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7D$ x_iy_i=19956， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7D$ x $%20%C2%A0_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D$ =17486）

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10．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚，车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调査，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：
使用年限x 2 3 4 5 6
总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：
1线性回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ ；
2估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

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单价x（元）	18	19	20	21	22
销量y（册）	61	56	50	48	45

月份x	1	2	3	4
用水量	4.5	4	3	2.5

x	3	4	5	6	7
y	2.5	3	4	4.5	6

年龄（岁）	30	35	40	45	50
健康消费（百元）	5	8	10	14	18