知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，有一个以 $F_%7B1%7D%280%EF%BC%8C-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 和 $F_%7B2%7D%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ 为焦点、离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ） $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%7C$ 的最小值．

难度：较易

解析收藏试题篮
2．设点M到坐标原点的距离和它到直线l：x=-m（m＞0）的距离之比是一个常数 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求点M的轨迹；
（Ⅱ）若m=1时得到的曲线是C，将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E，过点P（-2，0）的直线l₁与曲线E交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过F（1，0）的直线AF、BF分别交曲线E于点D、Q，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D$ =α $%20%5Coverrightarrow%20%7BFD%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BBF%7D$ =β $%20%5Coverrightarrow%20%7BFQ%7D$ ，α、β∈R，求α+β的取值范围．

难度：较易

解析收藏试题篮
3．已知圆F₁：（x+1）²+y²=9，圆F₂：（x-1）²+y²=1，动圆P与圆F₁内切，与圆F₂外．O为坐标原点．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）直线l：y=kx-2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程．

难度：较易

解析收藏试题篮
4．如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；
（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．

难度：较易

解析收藏试题篮
5．已知⊙M：（x+1）²+y²= $%20%5Cfrac%20%7B49%7D%7B4%7D$ 的圆心为M，⊙N：（x-1）²+y²= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ 的圆心为N，一动圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）设A，B分别为曲线P与x轴的左右两个交点，过点（1，0）的直线l与曲线P交于C，D两点．若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BDB%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BAD%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BCB%7D$ =12，求直线l的方程．

难度：较易

解析收藏试题篮
6．已知三角形ABC中，B（-1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的外接圆为⊙O₁（O₁为圆心），当P在M上运动时，求点O₁到x轴的距离的最小值．

难度：较易

解析收藏试题篮
7．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=
5
5
，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

难度：较易

解析收藏试题篮
8．在平面直角坐标系xOy中，方向向量为 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bd%7D%3D%281%EF%BC%8Ck%29$ 的直线l经过椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B18%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1$ 的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点
（1）若点A在x轴的上方，且 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOF%7D%7C$ ，求直线l的方程；
（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；
（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x₀，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

解析收藏试题篮
9．如图，已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ 的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．
（Ⅰ）若点G的横坐标为 $-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂．试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

难度：较易

解析收藏试题篮
10．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，M∈C，以M为圆心的圆M与l，相切于点Q，Q的纵坐标为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dp$ ，E（5，0）是圆M与x轴除F外的另一个交点
（Ⅰ）求抛物线C与圆M的方程：
（Ⅱ）过F且斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ 的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．

难度：较易

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷