知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知过抛物线G：y²=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BMF%7D%3D3%20%5Coverrightarrow%20%7BFN%7D$ ， $%7CMN%7C%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7B3%7D$ ，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（　　）

A． $%28x-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7B3%7D$

B． $%28x-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7B3%7D$

C． $%28x-3%29%5E%7B2%7D%2B%28y-2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D16$

D． $%28x-3%29%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D16$

难度：较易

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2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上任取一点P（x₀，y₀），过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k₁，k₂，k₃，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7B3%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7By_%7B0%7D%7D%7B2%7D$ ．

难度：较易

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3．设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点F作直线且交C于A，B两点，O是坐标原点，△OAB的面积为2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，则|AB|=（　　）

A．6

B．8

C．10

D．12

难度：较易

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4．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点F，E上一点（3，m）到焦点的距离为4．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．

难度：较易

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5．过抛物线C：y²=4x的焦点F，且斜率为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　）

A． $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$

B．2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$

C．2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

D．3 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$

难度：较易

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6．已知抛物线y²=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．
（1）求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的值；
（2）若△OAB的面积等于 $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B4%7D$ ，求直线l的方程．

难度：较易

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7．已知点 $M%282%EF%BC%8C2%20%5Csqrt%20%7B6%7D%29$ ，点F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为 ______ ．

难度：较易

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8．已知抛物线y²=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线方程，并证明： $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的值与直线l倾斜角的大小无关；
（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．

难度：较易

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9．已知过点Q（ $%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B2%7D$ ，0）的直线与抛物线C：y²=4x交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求证：y₁y₂为定值．
（Ⅱ）若△AOB的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B81%7D%7B4%7D$ （O为坐标原点），求直线AB的方程．

难度：较易

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10．设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=-1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x₀，y₀）（y₀＞0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．

难度：较易

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