知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．

难度：难

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2．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S_△OAF=4S_△OBF，则直线AB的斜率为（　　）

A．± $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D$

B．± $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B5%7D$

C．± $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$

D．± $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$

难度：难

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3．如图，抛物线C：y²=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．
（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；
（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．

难度：难

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4．已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点到准线的距离为4，过点P（1，-1）的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．

难度：难

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5．如图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[-1，3]时，求△ABP面积S_△ABP的最大值．

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6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则 $%20%5Cfrac%20%7B%7CAB%7C%7D%7B%7CAP%7C%7D$ = ______ ．

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7．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m高2m，载货后木船露在水面上的部分高为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？

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8．已知抛物线C：x²=4y，直线l：y=-1．PA、PB为曲线C的两切线，切点为A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；则甲是乙（　　）条件

A．充要

B．充分不必要

C．必要不充分

D．既不充分也不必要

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9．已知点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁x₂≠0)是抛物线y²=2px(p＞0)上的两个动点，O是坐标原点，向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 满足 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C%3D%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D-%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%7C$ ，设圆C的方程为x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0．
(1)证明线段AB是圆C的直径；
(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为 $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ 时，求p的值．

难度：难

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10．己知点F为抛物线C：y²=x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P，Q．以F为圆心，以FP，FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M，N，直线PM，QN交于点T．
(I)判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；
(II)连接FT，FQ，FP，记S₁=S_△PFT，S₂=S_△QFT，S₃=S_△PQT设直线l在y轴上的截距为m，当m何值时， $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B1%7DS_%7B2%7D%7D%7BS_%7B3%7D%7D$ 取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程．

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