知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；
（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．

难度：较易

解析收藏试题篮
2．某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y=x²的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点 $F%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%29$ ，点E为y轴上的一点，记∠EFA=α，其中α为锐角：
（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．

难度：较易

解析收藏试题篮
3．设A，B为曲线C：y= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

难度：较易

解析收藏试题篮
4．直线y=x-1被抛物线y²=4x截得线段的中点坐标是 ______ ．

难度：较易

解析收藏试题篮
5．已知平面内一动点M到点F（1，0）距离比到直线x=-3的距离小2．设动点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，过点B作直线：x=-1的垂线，垂足为D，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求证：①x₁•x₂=1，y₁•y₂=-4； ②A、O、D三点共线（O为坐标原点）．

难度：较易

解析收藏试题篮
6．已知动圆过定点P（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）过点（2，0）的直线l与C相交于A，B两点．求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 是一个定值．

难度：较易

解析收藏试题篮
7．已知三点O（0，0），R（-2，1），Q（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7BMR%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BMQ%7D%7C%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%5Ccdot%20%28%20%5Coverrightarrow%20%7BOR%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOQ%7D%29%2B2$ ．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若A，B是曲线C上分别位于点Q两边的任意两点，过A，B分别作曲线C的切线交于点P，过点Q作曲线C的切线分别交直线PA，PB于D，E两点，证明：△QAB与△PDE的面积之比为定值．

难度：较易

解析收藏试题篮
8．已知动圆M过定点E（2，0），且在y轴上截得的弦PQ的长为4．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设A，B是轨迹C上的两点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D-4$ ，F（1，0），记S=S_△OFA+S_△OAB，求S的最小值．

难度：较易

解析收藏试题篮