知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（1+cosωx，1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（1，a+ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）= $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%5Comega%20%7D$ 个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ]上为增函数，求ω的最大值．

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2．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（cos $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B2%7D$ -1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ sin $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B2%7D$ ，cos² $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B2%7D$ ），函数f（x）= $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ +1．
（Ⅰ）若x∈[ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，π]，求f（x）的最小值及对应的x的值；
（Ⅱ）若x∈[0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ]，f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B11%7D%7B10%7D$ ，求sinx的值．

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3．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%3D%28%20%5Csqrt%20%7B3%7Dsin%CF%89x%EF%BC%8C1%29$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D%3D%28cos%CF%89x%EF%BC%8Ccos%5E%7B2%7D%CF%89x%2B1%29$ ，设函数 $f%28x%29%3D%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ +b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线 $x%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ 对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当 $x%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B7%CF%80%7D%7B12%7D%5D$ 时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

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4．设 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%3D%28%20%5Csqrt%20%7B3%7Dsin%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B4%7D%EF%BC%8C1%29%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D%3D%28cos%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B4%7D%EF%BC%8Ccos%5E%7B2%7D%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B4%7D%29$ ，函数f（x）= $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ．
（1）当x=π时，求函数f（x）的值；
（2）已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足bcosC+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ c=a，求△ABC的内角B的大小．

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5．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（cosx，-1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ sinx，- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ），函数 $f%28x%29%3D%28%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%29%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D-2$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数∴的图象经过点 $%28A%EF%BC%8C%C2%A0%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ，b、a、c成等差数列，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D$ =9，求a的值．

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6．设x，y∈R，向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%3D%28x%EF%BC%8C2%29$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%3D%281%EF%BC%8Cy%29$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D%3D%282%EF%BC%8C-6%29$ ，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%E2%88%A5%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ，则 $%7C%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%7C$ = ______ ．

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7．设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%3D%282%EF%BC%8Cm%29$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%3D%281%EF%BC%8C-1%29$ ，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%E2%8A%A5%28%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B2%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D%29$ ，则实数m的值为 ______ ．

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8．设 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ =（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ sin $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B2%7D$ ，cos² $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B2%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ =（cos $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7B2%7D$ ，1），f（x）= $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D$ ，△ABC的三个内角A，B，C的对边分则为a，b，c．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（A）=1，a= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求b的取值范围．

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9．已知 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（cosα，sinα）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证： $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D-%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 互相垂直；
（2）若k $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ -k $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的长度相等，求β-α的值（k为非零的常数）．

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10．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AD=1，D₁D=λ（λ＞0），若棱C₁C上存在唯一的一点P满足A₁P⊥PB，求实数λ的值．

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