知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A $%20%C2%A0_%7B%201%20%7D%5E%7B%20%E2%80%B2%20%7D$ A₁中，点B、C在线段AA′上，点B₁、C₁在线段A₁A_1′上，且有CC₁∥BB₁∥AA₁，AB=3，BC=4．连结对角线AA₁′，分别交BB₁和CC₁于点P和点Q．现将该正方形沿BB₁和CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，连结AQ．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AP⊥BC；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线A₁Q与面APQ所成角的正弦值．

难度：较易

解析收藏试题篮
2．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，M是侧棱CC₁上一点，设MC=h．
（1）若BM⊥A₁C，求h的值；
（2）若h=2，求直线BA₁与平面ABM所成的角．

难度：较易

解析收藏试题篮
3．如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1， $BC%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：当点E在边BC上移动时，总有EF⊥AF；
（2）当CE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

难度：较易

解析收藏试题篮
4．如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．

（1）求证：EF⊥PB；
（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P-EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．

难度：较易

解析收藏试题篮
5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

难度：较易

解析收藏试题篮
6．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PM；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出 $%20%5Cfrac%20%7BPN%7D%7BPB%7D$ 的值，若不存在，说明理由．

难度：较易

解析收藏试题篮
7．如图，矩形ABCD和△ABP所在的平面互相垂直，AB=2AD=2，PA=PB．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若多面体ABCDP的体积是 $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B9%7D$ ，求直线PD与平面ABCD所成的角．

难度：较易

解析收藏试题篮
8．已知：矩形A₁ABB₁，且AB=2AA₁，C₁，C分别是A₁B₁、AB的中点，D为C₁C中点，将矩形A₁ABB₁沿着直线C₁C折成一个60°的二面角，如图所示．

（Ⅰ）求证：AB₁⊥A₁D；
（Ⅱ）求AB₁与平面A₁B₁D所成角的正弦值．．

难度：较易

解析收藏试题篮
9．如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）如果异面直线AE与PD所成角的大小为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，求PA的长及点A到平面PED的距离．

难度：较易

解析收藏试题篮
10．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠DAB= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ，AB=2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，BC=2，AD=3，平面ABD₁与棱CC₁交于点P．
（Ⅰ）求证：BP∥AD₁；
（Ⅱ）若直线A₁P与平面BDP所成角的正弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B3%20%5Csqrt%20%7B10%7D%7D%7B10%7D$ ，求AA₁的长．

难度：较易

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷