知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求 $\text{[math]}$ 的值．

难度：难

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2．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥平面AA₁C₁C，BC=CA=AA₁=2，∠CAA₁=60°．
（1）求证：AC₁⊥A₁B；
（2）求直线A₁B与平面BAC₁所成角的正弦值．

难度：难

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3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．
将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且 $AP%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

难度：难

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO=6，M为BD的中点．
（1）证明：AD⊥平面PAC；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

难度：难

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的正切值；
（Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B15%7D%7D%7B5%7D$ ．

难度：难

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6．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD的中点．

（1）求证：BM⊥平面ADM；
（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．

难度：难

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7．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面BCC₁B₁为矩形，∠A₁AB= $%20%5Cfrac%20%7B2%CF%80%7D%7B3%7D$ ，二面角A-BC-A₁的正切值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求侧棱AA₁的长；
（Ⅱ）侧棱CC₁上是否存在点D，使得直线AD与平面A₁BC所成角的正切值为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．

难度：难

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8．如图在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值；
（3）点E在直线AC上，当直线ED与平面BCD成30°角若时，求点C到平面BDE的距离．

难度：难

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9．已知正四棱锥侧面是正三角形，则侧棱与底面所成角为 ______ ．

难度：难

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10．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，F为线段PC上一点，E为线段PB上一点，PA=AB=2，AC= $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，则当AF+FE取最小值时，AE与平面PBC所成角的正弦值为 ______ ．

难度：难

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