知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用数学归纳法证明等式：1²-2²+3²+…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）．

难度：较易

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2．用数学归纳法证明：对任意的n∈N^*， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1%C3%973%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%C3%975%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282n-1%29%282n%2B1%29%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2n%2B1%7D$ ．

难度：较易

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3．已知数列{a_n}满足 $a_%7B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D$ ， $a_%7Bn%2B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2a_%7Bn%7D%2B1%7D$ ，
（Ⅰ）计算出a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}通项公式a_n，并用数学归纳法进行证明．

难度：较易

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4．用数学归纳法证明不等式 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B2%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3n%2B1%7D$ ≥ $%20%5Cfrac%20%7B25%7D%7B24%7D$ 对一切正整数n都成立．

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5．已知数列{a_n}满足a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7B%28n%2B2%29%20a_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7D-na_%7Bn%7D%2Bn%2B1%7D%7B%20a_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7D%2B1%7D$ （n∈N₊），且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜测a_n，并用数学归纳法证明；
（2）若n≥4，试比较3^a_n与（n-1）•2ⁿ+2n²的大小，并给出证明过程．

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6．利用数学归纳法证明 $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2Bn$ （n∈N^*，n≥2）时，从n=k到n=k+1，不等式左边需要添加的项共有（　　）

A．1项

B．k项

C．2^k-1项

D．2^k项

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7．函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（1）=1
（Ⅰ）分别求f（2），f（3），f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）（n∈N^*）的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

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8．观察以下等式： $1%2B2%2B3%2B%E2%80%A6%2Bn%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D$ ； $1%C3%972%2B2%C3%973%2B3%C3%974%2B%E2%80%A6%2Bn%C3%97%28n%2B1%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%C3%97%28n%2B1%29%C3%97%28n%2B2%29%7D%7B3%7D$ ； $1%C3%972%C3%973%2B2%C3%973%C3%974%2B3%C3%974%C3%975%2B%E2%80%A6%2Bn%C3%97%28n%2B1%29%C3%97%28n%2B2%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%C3%97%28n%2B1%29%C3%97%28n%2B2%29%C3%97%28n%2B3%29%7D%7B4%7D$ 猜想式子1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+n×（n+1）×（n+2）（n+3）的和S_n，并用数学归纳法证明．

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9．已知函数f（x）=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x²+2x，若数列{a_n}满足a₁=1．a_n+1=f（a_n）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）猜想a_n与3的大小关系，并用数学归纳法证明．

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10．用数学归纳法证明：1²+2²+3²+…+（n-1）²+n²+（n-1）²+…+3²+2²+1²= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ n（2n²+1）

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