知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．用数学归纳法证明不等式“1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D$ ＜n（n∈N^*，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（　　）

A．2^k-1

B．2^k-1

C．2^k

D．2^k+1

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2．数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

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3．
在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{1+a_{n}}(n∈N_{+})$，
$(1)$计算$a_{2}$、$a_{3}$、$a_{4}$并由此猜想通项公式$a_{n}$；
$(2)$证明$(1)$中的猜想．

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4．用数学归纳法证明不等 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2n%7D$ ＞ $%20%5Cfrac%20%7B23%7D%7B24%7D$ （n≥2）的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（　　）

A．增加了一项 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%28k%2B1%29%7D$

B．增加了一项 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2k%2B1%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%28k%2B1%29%7D$

C．增加了 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2k%2B1%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%28k%2B1%29%7D$ ，又减少了 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk%2B1%7D$

D．增加了 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%28k%2B1%29%7D$ ，又减少了 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk%2B1%7D$

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5．已知函数f_n（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （n+1）x²+x（n∈N^*），数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B1%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7B2%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%282a_%7Bn%7D-5%29%5E%7B2%7D%7D$ ＜ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ．

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6．请用数学归纳法证明：1+3+6+…+ $%20%5Cfrac%20%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7Bn%28n%2B1%29%28n%2B2%29%7D%7B6%7D$ （n∈N^*）

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7．用数学归纳法证明“1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D$ ＜n（n∈N^*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ______ ．

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8．已知f_n（x）=（1+2
x
）ⁿ，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
a1a2…an+1
≤pn．

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9．已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+
an
1+an
(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

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10．已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-
1
n+3
)n＜
1
2
，求证(1-
m
n+3
)n＜(
1
2
)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

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