知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式，并加以证明．

难度：较难

解析收藏试题篮
2．已知函数f₀（x）=x（sinx+cosx），设f_n（x）是f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）写出f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．已知数列{a_n}满足a_n=
an+1-a-n-1
a-a-1
（n∈N^*），a≠-1，0，1，设b=a+
1
a
．
（1）求证：a_n+1=ba_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）；
（2）当n（n∈N^*）为奇数时，a_n=
n-1
2
i=0
(-1)iC

i
n-1
b^n-2i，猜想当n（n∈N^*）为偶数时，a_n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

解析收藏试题篮
4．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求
T3
S3
，
T4
S4
，
T5
S5
，
T6
S6
的值；
（2）猜想
Tn
Sn
的表达式，并证明之．

难度：较难

解析收藏试题篮
5．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，求证：
（Ⅰ）对于n∈N^*恒有a_n+1＞a_n成立；
（Ⅱ）1-
1
22015
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2015
＜1．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．设数列{a_n}的前n和为S_n，满足S_n=a_n+1+n²-3，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

难度：较难

解析收藏试题篮
7．（1）运用完全归纳推理证明f（x）=x⁶-x³+x²-x+1的值恒为正数．
（2）已知a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．设f（1）=2，f（n）＞0（n∈N₊），且f（n₁+n₂）=f（n₁）f（n₂）
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）猜想f（n）的解析式；
（3）证明你的猜想．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）计算S₁、S₂，猜想数列{S_n}的通项公式，并用数学归纳法予以证明．

难度：较难

解析收藏试题篮
10．已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
x≥0
x-y≥0
，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=
1
2
时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷