知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用数学归纳法证明 $1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D%EF%BC%9Cn%28n%E2%88%88N%5E%7B%2B%7D%EF%BC%8Cn%EF%BC%9E1%29$ ，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（　　）

A．2^k-1

B．2^k

C．2^k-1

D．2^k+1

难度：较易

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2．用数学归纳法证明1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D$ ＜n（n∈N^*，n＞1）时，第一步应验证不等式（　　）

A．1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ＜2

B．1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ＜3

C．1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ＜3

D．1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ＜2

难度：较易

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3．用数学归纳法证明：1+4+7+…+（3n-2）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ n（3n-1）．

难度：较易

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4．设函数f（x）=x²e^x-1- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ x³-x²（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N^*，e^x-1＞ $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7Bn%7D%7D%7Bn%21%7D$ （其中n!=1×2×…×n）．

难度：较易

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5．用数学归纳法证明命题：1+2+3+…+n²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%5E%7B2%7D%2Bn%5E%7B4%7D%7D%7B2%7D$ 时，则从n=k到n=k+1左边需增加的项数为（　　）

A．2n-1

B．2n

C．2n+1

D．n²-n+1

难度：较易

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6．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n²+n（n∈N^*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）

A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）

B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）

D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

难度：较易

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7．编辑如下运算程序：1@1=2，m@n=q，m@（n+1）=q+2．
（1）设数列{a_n}的各项满足a_n=1@n，求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）猜想{a_n}的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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8．整数p＞1．证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）^p＞1+px．

难度：较易

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9．已知函数f₀（x）=xsinx，其中x∈R，记f_n（x）为f_n-1（x）的导函数，n∈N^*
（1）求f₁（x），f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）（n∈N^*）的解析式并证明．

难度：较易

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10．用数学归纳法证明1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D$ ＜n（n∈N^*，且n≥2），第一步要证的不等式是 ______ ．

难度：较易

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