知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列A：a₁，a₂，…，a_N （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a_k＜a_n，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在a_n使得a_n＞a₁，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A满足a_n-a_n-1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于a_N-a₁．

难度：较易

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2．在数学归纳法证明“1+a+a²+…+aⁿ= $%20%5Cfrac%20%7B1-a%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7B1-a%7D$ （a≠1，n∈N^*）”时，验证当n=1时，等式的左边为（　　）

A．1

B．1-a

C．1+a

D．1-a²

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3．对于不等式 $%20%5Csqrt%20%7Bn%5E%7B2%7D%2Bn%7D$ ＜n+1（n∈N^*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n=1时， $%20%5Csqrt%20%7B1%5E%7B2%7D%2B1%7D$ ＜1+1，不等式成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即 $%20%5Csqrt%20%7Bk%5E%7B2%7D%2Bk%7D$ ＜k+1，则当n=k+1时， $%20%5Csqrt%20%7B%28k%2B1%29%5E%7B2%7D%2B%28k%2B1%29%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7Bk%5E%7B2%7D%2B3k%2B2%7D$ ＜ $%20%5Csqrt%20%7B%28k%5E%7B2%7D%2B3k%2B2%29%2B%28k%2B2%29%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B%28k%2B2%29%5E%7B2%7D%7D$ =（k+1）+1，∴当n=k+1时，不等式成立．
则上述证法（　　）

A．过程全部正确

B．n=1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n=k到n=k+1的推理不正确

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4．用数学归纳法证明 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B2%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3n%7D$ ≥ $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B6%7D$ ，从n=k到n=k+l，不等式左边需添加的项是（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3k%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3k%2B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3k%2B3%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3k%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3k%2B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3k%2B3%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk%2B1%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3k%2B1%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3k%2B3%7D$

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5．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7B2a_%7Bn%7D%7D%7B2%2Ba_%7Bn%7D%7D$ （n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

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6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n-1是a_n与S_n的等比中项，求数列{a_n}的通项公式．

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7．用数学归纳法证明：1²+2²+3²+…+n²+…+2²+1²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%282n%5E%7B2%7D%2B1%29%7D%7B3%7D$ ，第二步证明由n=k到n=k+1时，左边应加（　　）

A．k²

B．（k+1）²

C．k²+（k+1）²+k²

D．（k+1）²+k²

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8．设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （a_n+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ）．
（1）试求a₁、a₂、a₃；
（2）猜想通项a_n，并用数学归纳法证明你的结论．

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9．用数学归纳法证明1+2+3+…+n²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%5E%7B4%7D%2Bn%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上 ______ ．

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10．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N^*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（　　）

A．p（n）对一切正整数n都成立

B．p（n）对任何正偶数n都成立

C．p（n）对任何正奇数n都成立

D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立

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