知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
2x+b
2x+a
（a、b为常数），且f（1）=
1
3
，f（0）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=lg（x+1）-lg（x-1）．
（Ⅰ）求f（x）的定义域，判断并用定义证明其在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（a^2x-2a^x）＜lg2．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=x-
1
x
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于
11a-2
2a
，求a的取值范围．

难度：中等

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4．下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；②y=-
1
x
在定义域内是增函数；③函数f(x)=
1-x2
|x+1|-1
图象关于原点对称；④如果关于实数x的方程ax2+
1
x
=3x的所有解中，正数解仅有一个，那么实数a的取值范围是a≤0；其中正确的序号是．

难度：中等

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5．函数f（x）=|x+1|+|x+a|是偶函数，则实数a的值为．

难度：中等

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6．已知定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=
1+x2
，设任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁≠x₂．求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．

难度：中等

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7．证明：若2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．

难度：中等

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8．已知函数y=f（x）=3^x+
x-2
x+1
．
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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